Учимся побеждать

Учащиеся Ивьевской средней школы Валерий Лисай и Никита Матылевич удостоены дипломов первой и второй степени Открытой международной математической интернет-олимпиады для школьников «Весна 2017», которую провели Санкт-Петербургская академия постдипломного педагогического образования и Nord Education, Espoo (Финляндия). Приятно, что наши учащиеся побеждают уже во второй раз в таких соревнованиях (ранее это было зимой 2017 года). На этот раз они успешно справились со следующими олимпиадными задачами.

Условия задач.

1. Сколько цифр в записи значения произведения пятой степени числа 8 и семнадцатой степени числа 5?

2. При каком значении параметра a пара уравнений 1) ax − a + 3 − x = 0 и 2) ax − a − 3 − x = 0 равносильна?

3. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение:

3x + 4y = 30?

4. В двух корзинах 79 яблок, причём 7/9 первой корзины составляют зелёные яблоки, а 9/17 второй корзины − красные яблоки. Сколько красных яблок во второй корзине?

5. Периметр равнобедренного треугольника 20 см. Одна из его сторон вдвое больше другой. Найдите основание равнобедренного треугольника. Дайте ответ в сантиметрах.

6. В коробке 6 красных, 7 зелёных, 8 синих и 9 жёлтых карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно было 2 красных или 2 жёлтых карандаша?

7. Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 10 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 2 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?

Логика решений задач.

1. 8 ⁵⋅5 ¹⁷ = 2¹⁵⋅5¹⁵⋅5 ² = 10 ¹⁵⋅5 ² = 25000000000000000. Ответ: 17.

2. 1) ax – a + 3 – x = 0. ax – x = a – 3; (a − 1)x = a – 3; 2) ax – a – 3 – x = 0. ax – x = a + 3; (a − 1)x = a + 3. Если a = 1, то пара уравнений равносильна; у первого и у второго уравнения при a = 1 нет корней, значит, они равносильны. Ответ: 1.

3. Легко угадывается частное решение: (10; 0)), значит, множество всех целых решений: x = 10 + 4n; y = −3n, где n − целое число. Целые неотрицательные решения при значениях n: 0, −1, −2. Три целых неотрицательных решения: (10; 0); (6; 3); (2; 6). Ответ: 3.

4. Число яблок в первой корзине делится на 9, а число яблок во второй корзине делится на 17. В первой корзине 9x, во второй − 17y. Значит, 9x + 17y = 79. Решаем это неопределённое уравнение. Решение в целых числах: x = 5 + 17n; y = 2 − 9n. Единственное решение в натуральных числах: x = 5; y = 2. В первой корзине 45, а второй − 34. 34:17⋅9 = 18. Ответ: 18.

5. Основание равнобедренного треугольника не может быть в 2 раза больше боковой стороны по неравенству треугольника, значит, боковая сторона в 2 раза больше основания. Пусть x см − основание. 2x см − боковая сторона. 2x + 2x + x = 20; 5x = 20; x = 4. Стороны треугольника: 4 см, 8 см и 8 см. Боковые стороны − по 8 см, основание − 4 см. Ответ: 4.

6. В условии задачи есть слово "обязательно", следовательно, надо рассмотреть самый плохой вариант. В наихудшем случае сначала будут взяты все зелёные и синие карандаши, затем достаточно взять 3 карандаша, обязательно будет 2 красных или 2 жёлтых. 7 + 8 + 3 = 18. Ответ: 18.

7. Автобусы в посёлок приходят каждые 10 + 10:2 = 15 минут, значит, 4 автобуса за час. Ответ: 4.