Задачи школьного тура олимпиады по математике 9-11 класс

Школьный тур олимпиады по математике

9 класс

1. В прямоугольном треугольнике один катет равен 7 см. Определите две другие целочисленные стороны.

2. Саша тратит часть своего времени на занятия в школе, – на игру в футбол, – на слушание музыки, – на телевизор, – на компьютерные игры. Можно ли так жить?

3. Найдите двузначное число, равное сумме числа десятков и квадрата числа единиц.

4. Найдите длину поезда в метрах, зная, что он проходит мимо светофора за 7 с, а мимо платформы длиной в 400 м – за 27 с

5. В квадрате АВСD точка Е – середина стороны АВ, точка F – середина ВС, G – точка пересечения диагонали BD и AF. Докажите, что .

6. Кубические часы

Настольные часы с часовой и минутной стрелками (минутная стрелка длиннее часовой) имеют форму куба с круглым циферблатом (с минутными делениями) в центре одной из граней. На часах нет чисел и каких-либо пометок, показывающих, где у них верх. Поэтому можно случайно поставить их на бок, или даже вверх ногами. Есть ли в сутках хотя бы один такой момент, когда нельзя будет определить, какое время показывают эти часы?

1. Шестиугольник

Существует ли шестиугольник, который одним прямолинейным разрезом разбивается на четыре равных треугольника?

Школьный тур олимпиады по математике

10-11 классы

1. Часы показывают 9 ч 30 мин. Через сколько минут минутная стрелка в третий раз догонит часовую стрелку?

2. Вычислите

3. Какой должна быть последняя цифра в числе 1234567*, чтобы это число делилось на 8?

4. Известно, что . Вычислите

5. Пусть . Вычислите

6. Сколько существует действительных чисел х, для которых число является целым?

7. Решите уравнение . В ответ запишите сумму его корней.

8. Чему равна сумма цифр десятичной записи числа ?

9. Точка М лежит внутри равнобедренного треугольника с углом при вершине в 120⁰. Расстояние от точки М до каждого из боковых сторон равно 3, а до основания - . Найдите длину основания.

10. Какова наибольшая возможная площадь треугольника, у которого одна из вершин является центром окружности радиуса 2, а две другие вершины лежат на этой окружности?

11. Сколько действительных корней имеет многочлен ?

12. Найдите наименьшее расстояние между двумя точками, одна из которых расположена на окружности , а другая – на окружности