Знакомство с методами решения олимпиадных задач по математике

Основная задача образования в России – гарантия текущего качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям общества, государства и личности. Совершенствование общеобразовательной школы предполагает ориентацию образования, как на усвоение конкретной суммы знаний, так и на развитие личности. Опора на богатейший опыт российской и советской школы, сохранение ценностей математического образования являются одним из важных условий для улучшения качества общего образования.

Значительным средством развития, выявления способностей и интересов обучающихся являются предметные олимпиады. Олимпиадные задачи в математике – «термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход».

Рассмотрим некоторые методы решения олимпиадных задач.

Метод тождественных преобразований

Пример 1. Множество N состоит из чисел вида a² + 2b², где a и b - целые числа. Докажите, что произведение любых двух чисел из N также принадлежит множеству N.

Решение.Перемножим два числа х= а² + 2b² и у = с² + 2d², принадлежащих N:

ху = (а² + 2b²)(с² + 2d²) = a²c² + 2a²d² + 2b²c² + 4b²d².

Добавив и вычтя слагаемое 4abcd, получаем (в результате тождественных преобразований):

ху = (ас + 2bd)² + 2(ad - bс)²,

то есть ху = u² + 2v², где u = ас + 2bd, v = ad - bс. Это означает, что произведение ху также лежит в М. Утверждение доказано.

Метод аналогий

Пример 2. Даны 72 последовательных натуральных числа. Их разбили на 24 группы по три числа, и в каждой группе числа перемножили. Затем у каждого из полученных произведений подсчитали сумму цифр. Могли ли все полученные суммы оказаться равными?

Решение. В задаче рассматриваются суммы цифр, и она схожа по звучанию с более простой задачей: «Известно, что натуральное число n в 3 раза больше суммы своих цифр. Докажите, что n делится на 27».

Эта задача решается так: обозначим через s сумму цифр данного числа n. По условию n= 3s, следовательно, n делится на 3. Значит, s делится на 3, то есть s = 3k. Это означает, что n = 9k, то есть nделится на 9. Тогда и s делится на 9, то есть s = 9m. Но тогда n = 27m. Задача решена.

Применим идею использования признака делимости на 9 в нашей задаче (формально в ней не идёт речь о делимости на 9, но задача включает рассмотрение сумм цифр чисел, что и подсказывает идею решения). Среди данных 72 чисел есть числа, делящиеся на 9. Значит, произведения, в которые данные числа входят, также делятся на 9. Но тогда и суммы цифр этих произведений делятся на 9. Предположим, что все полученные суммы одинаковы. Тогда каждая из них должна делиться на 9, а потому и каждое из 24 произведений должно делиться на 9. Это возможно только в двух случаях: в произведение входит число, делящееся на 9, или же входят два числа, делящихся на 3. Среди 72 последовательных натуральных чисел ровно 8 делятся на 9, а также ровно 24 - 8 = 16, делящихся на 3, но не делящихся на 9. Они могут образовать ещё 8 пар сомножителей, делящихся в произведении на 9. То есть всего 8 + 8 = 16 произведений могут делиться на 9. А их – 24. Получили противоречие. Ответ: не могли.

Метод моделирования

Пример 3. На Международный женский день мальчики в классе принесли подарки. Первый мальчикпринес один подарок, второй– два подарка, третий – три подарка и т.д. Оказалось, что каждойдевочке в классе досталось одинаковое число подарков. Затем на День именинниковдевочкидоговорились и принесли подарки: первая – один подарок, вторая – два подарка и т.д. И оказалось, что каждому мальчику в классе досталось одинаковое число подарков. Докажите, что девочек или мальчиков в классе нечётное количество.

Решение. Пусть в классе хдевочек и у мальчиков. Первое условие задачи означает, что

y(y+1)2 =nx, (1)

где n – натуральное число (количество подарков, доставшихся каждойдевочке). Аналогично получаем, что

x(x+1)2 =my, (2)

где m– натуральное число. Уравнения (1) и (2) дают математическую модель данной задачи. Данная система определенно не решается. Но можно сделать вывод относительно переменных х и у. Перемножим уравнения (1) и (2), а затем умножим полученное уравнение на 4. Получим следующее уравнение:

у(у + l)x(x + 1) = 4пхту, или, с учётом того, что у ≠ 0, х ≠ 0, (у + l)(x + 1) = =4пт. Отсюда следует, что произведение (у + l)(x + 1)– чётное число, то есть по крайней мере один из множителей у + 1 и х + 1– чётный. Но тогда хотя бы одно из чисел у или х– нечётно. Утверждение доказано.