1. Основные понятия теории уравнений и неравенств.

1. Основные понятия теории уравнений и неравенств.

Характеризуя понятие уравнение, нужно учитывать разные стороны этого понятия. Уравнение представляет собой некоторую запись, составленную по определенным правилам (синтаксический подход). Заменяя в записи буквы (переменные) конкретными числами, имеем верные или неверные равенства (логический подход).

На практике понятие уравнения может быть введено посредствам выделения его в результате решения задач алгебраическим методом. В этом случае существенным является подход к понятию уравнения, при котором уравнение представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с условием конкретную математическую интерпретацию (модельный подход). Указанный способ введения понятия уравнения соответствует прикладному аспекту понятия уравнения, отраженному в следующем определении: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство».

Существует другой способ определения уравнения: «Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения». Это определение характеризует уравнение как предикат особого вида, а корень уравнения – число из множества истинности этого предиката. Термин «уравнение» несет в себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает смысловой компонент.

Можно встретить и третий способ определения, роль которого проявляется при изучении графического метода решения уравнений: «Уравнение – это равенство двух функций».

Каждое из приведенных определений задают достаточно широкие классы математических объектов, к которым относятся и записи: , , . Если первое равенство можно отнести к уравнениям особого вида, то второе – тождество, а третье – уравнение кривой. Одна и та же запись в зависимости от контекста может отражать подлежащее решению уравнение, и тождество, и уравнение кривой.

С вязь основных понятий теории уравнений отражена на рисунке 1.

Р авенство

Ч исловое С буквой (переменной, неизвестной)

Неверное Верное Уравнение ……..

Корень уравнения

Решить уравнение

Рис.1.

Аналогичные рассмотренным выше определениям могут быть даны неравенствам, уравнениям с несколькими неизвестными, системам уравнений и неравенств.

К лассификация уравнений и неравенств тесно связана с конкретными функциями, изучаемыми в школьном курсе математики. В соответствии с этим выделены определенные виды уравнений, представленные на рисунке 2.

У равнения

А лгебраические Неалгебраические

Р ациональные Иррациональные Показательные

Логарифмические

Ц елые рациональные Дробно рациональные Тригонометрические

Линейные Нелинейные

Квадратные Высших порядков

Рис.2.

Аналогичная классификация используется и для неравенств.

В отношении формирования понятия равносильности и его применения учебные пособия можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований явно основано на введении и изучении понятия равносильности; ко второй – те, в которых применение равносильных преобразований предшествует определению понятия равносильности.

Методика работы над понятием при указанных подходах существенно отличается.

В школьном курсе математики можно выделить три этапа, связанных с рассмотрением этого вопроса.

Во-первых, на пропедевтическом этапе в начальном курсе математики и в начале изучения алгебры решаются простейшие модели. Используемые преобразования получают индуктивное образование. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения чаще заменяются такими, где равносильность используется, но сам термин не вводится.

Во-вторых, выделяется понятие равносильности и сопоставляется его теоретическое содержание с правилами преобразований, которые выводятся на его основе.

В-третьих, на основе общего понятия равносильности происходит развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений и неравенств.

В процессе решения уравнений также используются понятие логического следования, которое изучается позже понятия равносильности и является дополнением к нему. Логическое следование применяется в основном тогда, когда не удается найти вариант равносильного преобразования. Реже, когда соблюдение требования равносильности приводит к громоздким преобразованиям, логическое следование используется как прием, упрощающий процесс решения.

Выделятся три основных типа преобразований.

1. Преобразование одной из частей уравнения или неравенства. Используется при необходимости упростить выражение в какой-то из частей уравнения или неравенства. Имеется возможность перехода к неравносильной модели. Основой преобразований данного типа являются тождественные преобразования, поэтому классифицировать их можно в соответствии с классификации тождественных преобразований (раскрыть скобки, приведение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю и др.).

2. Согласованное изменение обеих частей уравнения (неравенства). На основе основных свойств числовых равенств (неравенств) формулируются основные свойства равенств (неравенств) с одним неизвестным, например:

• любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при этом знак неравенства не меняется;

• обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.

1. Преобразования, изменяющие логическую структуру. Можно выделить два подтипа:

• преобразования, осуществляемые на основе свойств арифметических операций. К ним можно отнести переход от уравнения к совокупности уравнений после предварительного разложения на множители; переход от уравнения к системе после приравнивания суммы квадратов выражений к нулю; почленное сложение, умножение, деление уравнений, неравенств и т.д.;

• преобразования, осуществляемые при помощи логических операций. Примерами их являются выделение из системы одного из компонентов, замена переменных.