Биноминальная формула Ньютона

Проверка домашнего задания

Решите уравнение:

Ответ: x=4

1 .

Ответ: x=7

2 .

Ответ: x=5

3 .

4 .

Ответ: x=5

Ответ: x=5

5 .

6 .

Ответ: x=7

Abramova N.K.

Проверка домашнего задания

Используя свойство числа сочетаний, найти значение выражения:

Ответ: 364

7.

Ответ: 455

Ответ: 16

Ответ: 64

Abramova N.K.

Бином

Бином ( лат. bis - два, nomen - имя ) или двучлен — частный случай многочлена (полинома ) , который состоит из двух слагаемых одночленов (мономов).

Например:

a+b , a-b , a 2 +b 2 , 3b-4b 3

Abramova N.K.

Формулы сокращенного умножения

( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2

( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3

( a + b ) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4

n=0 1

n=1 1 1

n=2 1 2 1

n=3 1 3 3 1

n=4 1 4 6 4 1

5-я строка (n=4) получается так:

1, 4=1+3, 6=3+3, 4=3+1, 1

Abramova N.K.

Треугольник Паскаля.

1

1

1

2

1

1

3

1

3

1

4

4

1

1

6

10

5

5

10

1

1

15

15

20

6

6

1

1

35

7

21

7

21

35

1

1

1

28

70

8

1

8

56

56

28

Abramova N.K.

Разложение бинома с помощью треугольника Паскаля.

Пример 1

Abramova N.K.

Разложение бинома с помощью треугольника Паскаля.

Пример 2

Пример 3

Abramova N.K.

Биномиальные коэффициенты

В основе построения треугольника Паскаля лежит свойство сочетаний

Поэтому коэффициенты разложения степени бинома можно записать с помощью числа сочетаний:

Abramova N.K.

Общий вид биномиальной формулы Ньютона

Бином Ньютона –формула, выражающая целую положительную степень

суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых.

Частными случаями бинома Ньютона являются формулы квадрата

и куба суммы двух слагаемых a и b

Abramova N.K.

Свойства разложения бинома

1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя бинома.

2. Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна

показателю степени бинома

3. Общий член разложения имеет вид:

4. Сумма коэффициентов разложения ( a+b) m равна 2 m .

5. Биномиальные коэффициенты членов, равноотстоящих от концов

разложения равны

Abramova N.K.

Применение формулы бинома Ньютона

Пример 4

Abramova N.K.

Проверка самостоятельной работы Задание 1

а ) x 4 -8x 3 +24x 2 -32x+16

I вариант б ) 99-70

81x 4 -216x 3 +216x 2 -96x+16

а )

II вариант

б )

32y 10 -240y 9 +720y 8 –1080y 7 +810y 6 –243y 5

Задание 2

I вариант

II вариант

Abramova N.K.

Проверка самостоятельной работы

Задание 3

I вариант

По условию

искомый член:

II вариант

Пусть искомый член:

По условию

- суть целые числа, следовательно k=2 ,

искомый член:

Abramova N.K.

Блез Паскаль и его треугольник.

На рисунке справа изображено несколько

строк числового треугольника, образован-

ного по следующему правилу:

по краям каждой строки стоят единицы,

а каждое из остальных чисел равно сумме двух

стоящих над ним чисел предыдущей строки.

В такой форме треугольник приведен в

«Трактате об арифметическом треугольнике»

французского математика Б.Паскаля (1623-1662),

опубликованном в 1665 году уже после смерти автора.

Несколько иные варианты этой числовой

таблицы встречались столетием раньше

у итальянского математика Н.Тартальи, а

за несколько веков до этого у среднеазиатского

ученого и поэта Омара Хайяма, некоторых

китайских и индийских ученых.

Abramova N.K.

Популярность чисел треугольника Паскаля.

Числа, составляющие треугольник Паскаля возникают в самых естественных задачах алгебры, комбинаторики, теории вероятностей, математического анализа, теории чисел.

Сколько различных к -элементных множеств (сочетаний)

можно образовать из данных n элементов?

Каковы коэффициенты многочлена (1+х) n ?

Сколькими разными путями можно спуститься из верхней

точки А в к -й перекресток n- го ряда?

А

Abramova N.K.

Популярность чисел треугольника Паскаля.

Из 4 различных элементов можно составить такие множества:

=4 одноэлементных

=6 двухэлементных

=4 трехэлементных

=1 четырехэлементное

Abramova N.K.

Бином Ньютона.

В 1664-1665 г.г. И.Ньютон установил,

что формула выражающая степень

двучлена в виде суммы одночленов

обобщается на случай произвольных

(дробных и отрицательных) показателей

Исаак Ньютон

1643-1727

Abramova N.K.

Бином Ньютона в художественной литературе

Бином Ньютона появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идет о чем-либо сложном.

В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

«Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность».

Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!».

Abramova N.K.

х

S (х)

H

S ос.

P.S.

Считай несчастным тот день или час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию .

Ян Амос Коменский

Abramova N.K.

20