Иррациональные уравнения.

Цель: обобщить и систематизировать знания обучающихся решения иррациональных уравнений.

образовательные:

• повторить способы решения иррациональных уравнений;

• отработать алгоритм решения простейших иррациональных уравнений;

• проверить усвоение обучающимися изученного материала.

• способствовать формированию навыков самостоятельного подхода к решению уравнений с помощью информационных средств;

• развивать мышление и творческие способности обучающихся;

• формирование умения выделять главное, сравнивать, анализировать и делать выводы;

прививать обучающимся интерес к предмету через совместную творческую работу;

• формировать умение аккуратно и грамотно выполнять математические записи.

• выработка объективной оценки своих достижений;

• формирование ответственности;

• воспитывать умение преодолевать трудности при решении задач;

• усиление познавательной мотивации осознанием обучающегося своей значимости в образовательном процессе;

• воспитание у обучающихся самостоятельности, умение достойно вести спор, находчивость.

Тип занятия: урок систематизации знаний.

Оборудование: компьютер, проектор, карточки с заданием, бланки самоконтроля.

Продолжительность занятия: 45 минут.

1. Организационный момент. Формулирование цели и задач занятия. Мотивация.

2. Актуализация опорных знаний.

Повторение теоретического материала по теме.

Проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

Вопросы для повторения:

1) - Дайте определение уравнения с одной переменной.

Ответ: Равенство с одной переменной, в котором нужно найти те значения переменной, при которых получается верное числовое равенство.

2) - Что называется корнем уравнения?

Ответ: Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

3) – Какие уравнения называются равносильными?

Ответ: Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

4) – Какие равносильные преобразования можно выполнять при решении уравнений?

Ответ: - перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком;

- умножение обеих частей равенства на одно и то же отличное от нуля число;
- дробь равна нулю, тогда и только тогда когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

3. Мотивация учебной деятельности.

В результате работы на сегодняшнем занятии, мы познакомимся с понятием иррационального уравнения, рассмотрим некоторые способы решения различных иррациональных уравнений, сначала мы будем решать уравнения совместно, затем выполним самостоятельную работу, вы обменяетесь с соседом по парте работами и выполните проверку работы, результаты будем записывать в лист самооценки.

4. Изучение нового материала.

Определение. Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала.

Примеры: .

2) Методы решения иррациональных уравнений:

Преподаватель: Решение иррационального уравнения основано на преобразовании его к рациональному уравнению, которое достигается возведением обеих частей в одну и ту же степень (иногда несколько раз). При этом если обе части уравнения возвести в нечётную степень, то получим уравнение, равносильное данному. Запишите это в конспект.

Преподаватель: В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым, при этом используя следующие правила преобразований уравнения в равносильное:
- перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком;
- обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число;
- уравнение можно заменить равносильной системой или решить уравнение f(x)=0, а затем отбросить те корни, которые обращают в 0 знаменатель.

Преподаватель: При возведении обеих частей иррационального уравнения в чётную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Уравнению – следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но могут появиться и корни, которые не являются корнями исходного уравнения, так называемые посторонние корни. Запишите это в конспект.

Преподаватель: К появлению посторонних корней могут привести следующие преобразования:
- возведение в квадрат (или в чётную степень) обеих частей уравнения;

- умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную.

Преподаватель: Рассмотрим правила равносильного перехода для простейших иррациональных уравнений. То есть те преобразования при выполнении, которых проверка не требуется.

1) если (область допустимых значений находить не надо).

2) если или любой другой корень чётной степени равен отрицательному числу, то (x принадлежит пустому множеству, т.е. решений нет).

3) если квадратный корень равен нулю, то и подкоренное выражение равно нулю:
.

Уравнения вида (т.е. n – чётное) решаются по аналогичным правилам.

4) если n – чётное, то .

Таким образом: (условие f(x)  0 в этом случае не рассматривается, т.к. проверяется автоматически потому что правая часть уравнения системы неотрицательна).

2) Методы решения иррациональных уравнений;

3) Решение иррациональных уравнений.

Привлечение к решению уравнения студентов:
-Что нужно сделать чтобы решить это уравнение?
Ответ: обе части уравнения возвести в квадрат.

Пример 1.

Решить уравнение:

,

,

,

,

Подставив полученные корни в исходное уравнение, видим, что они удовлетворяют ему.

В данном случае. проверку делать было не обязательно, почему?
- Потому что в правой части равенства положительное число.

Ответ: -4; 4.

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение.

По определению арифметического квадратного корня: – это неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Ответ: решений нет.

Преподаватель: Рассмотрим решение уравнений вида:

Способ решения:

Пример 3.

Решить уравнение:

(Студент решает у доски, затем проверка с помощью слайда, способы могут не совпадать).

I способ:

,

,

.

В результате проверки получаем, что число -7 не является корнем данного уравнения.

Ответ: 3.

II способ: .

При такой записи проверка не нужна.

Преподаватель: Рассмотрим решение уравнения, содержащего более одного радикала. Уравнение вида .

.

Из двух систем решают ту, которая решается проще.

Пример 4.

Решить уравнение: .

Решение.

.

Ответ: -7.

Иногда для решения уравнения достаточно найти область допустимых значений (ОДЗ). То есть все значения переменной, при которых уравнение имеет смысл.

Пример 5.

Решить уравнение: .

ОДЗ:

Ответ: решений нет.

Запишите в конспекты рекомендации для линейных комбинаций двух и более радикалов.

Если уравнение содержит два и более радикала, то необходимо придерживаться следующих правил:
1. указать область допустимых значений уравнения;
2. распределить радикалы по обеим частям, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными;
3. только после этого возводить в квадрат левую и правую части уравнения.

Пример 6.

Решить уравнение: .

(Студент у доски решает, затем проверяем с помощью слайда).

Решение.



Возведем в квадрат ещё раз обе части уравнения, получим:
,

,

.

Выполнив проверку, получим, что корнем уравнения является число 5.

Или можно воспользоваться ещё одним правилом равносильного перехода, и тогда проверка не нужна:
.

Пример 7 (Решение с привлечением студентов).

Решить уравнение:

Решение.

.

Ответ:

Решение иррациональных уравнений с использованием способа замены переменных.

Пример 8.

Решить уравнение:

Решение.

Пусть , где .

Тогда решаем уравнение:  так как , то возвращаемся к замене:

Проверка показывает, что оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: -4; 1.

Преподаватель: Рассмотрим решение уравнений вида:

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, а второй при этом имеет смысл:
.

Пример 9.

Решить уравнение:

Решение.

Ответ: 0; 2.

Преподаватель: Если у нас радикал имеет нечётную степень здесь всё просто, возвести обе части уравнения в эту степень и решить получившееся уравнение.

Пример 10 (Студент у доски решает, затем выполняем проверку с помощью слайда).

Решить уравнение: .

Решение.

,

,

,

,

,

.

Ответ: 0; 2.

5. Закрепление нового материала.

4) Самостоятельная работа.

А теперь, проверим уровень понимания материала, приготовьтесь к выполнению теста. Результаты теста записывайте в листы самопроверки, которые у вас лежат на столе, на выполнение теста у вас 5 минут. Выполнять тест старайтесь самостоятельно, только в этом случае можно определить, как вы поняли материал занятия.

Проверка тестового задания.

- Проверяем правильность рассуждений, внимание, посмотрите на слайд и сверьте получившиеся у вас результаты с правильными.

- Кто ответил на все вопросы правильно? Поднимите руки, пожалуйста.

- Кто не ответил ни на один вопрос? Есть у нас такие? (Если да, то поручить студентам, хорошо ориентирующимся в теме объяснить этот материал ещё раз своим товарищам).

6. Подведение итогов урока.

Подведем итог нашего занятия:

- Какие уравнения мы сегодня научились решать?

- С какими способами решения иррациональных уравнений познакомились?

- Запишите своё отношение к занятию в лист самоконтроля (приложение 1).

7. Заключительная часть урока.

На этом наше занятие окончено, до встречи на следующем занятии.