Просмотр содержимого документа
«Упрощение тригонометрических выражений»
sin 2 t + cos 2 t = 1
Основные тригонометрические тождества
Пример 1. Упростить выражение: cos 2 t – cos 4 t + sin 4 t .
Решение.
cos 2 t ∙ ( 1 - cos 2 t) + sin 4 t =
cos 2 t – cos 4 t + sin 4 t =
cos 2 t ∙ ( 1 - cos 2 t) + sin 4 t =
cos 2 t + sin 2 t = 1
= cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t =
sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) =
sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) =
= sin 2 t · 1 = sin 2 t
Ответ : cos 2 t – cos 4 t + sin 4 t = sin 2 t
Решение.
sin 2 t + cos 2 t = 1
Пример 3 . Доказать тождество ( tg 2 t – sin 2 t ) ∙ ctg 2 t = sin 2 t .
Доказательство.
( tg 2 t – sin 2 t ) ∙ ctg 2 t =
tg 2 t ∙ ctg 2 t – sin 2 t ∙ ctg 2 t =
tg 2 t ∙ ctg 2 t – sin 2 t ∙ ctg 2 t =
= 1 – sin 2 t ∙ ctg 2 t =
= 1 – sin 2 t ∙ ctg 2 t =
sin 2 t + cos 2 t = 1
Пример 4 . Найти значение выражения tg 2 t + ctg 2 t , если tg t + ctg t = 6 .
Решение.
( tg t + ctg t ) 2 = 6 2 ;
tg 2 t + 2 ∙ tg t ∙ ctg t + ctg 2 t = 36 ;
tg 2 t + 2 ∙ tg t ∙ ctg t + ctg 2 t = 36 ;
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36;
tg 2 t + ctg 2 t = 36 – 2;
tg 2 t + ctg 2 t = 34.
Ответ: tg 2 t + ctg 2 t = 34.