Упрощение тригонометрических выражений

sin 2 t + cos 2 t = 1

Основные тригонометрические тождества

Пример 1. Упростить выражение: cos 2 t – cos 4 t + sin 4 t .

Решение.

cos 2 t ∙ ( 1 - cos 2 t) + sin 4 t =

cos 2 t – cos 4 t + sin 4 t =

cos 2 t ∙ ( 1 - cos 2 t) + sin 4 t =

cos 2 t + sin 2 t = 1

= cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t =

sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) =

sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) =

= sin 2 t · 1 = sin 2 t

Ответ : cos 2 t – cos 4 t + sin 4 t = sin 2 t

Решение.

sin 2 t + cos 2 t = 1

Пример 3 . Доказать тождество ( tg 2 t – sin 2 t ) ∙ ctg 2 t = sin 2 t .

Доказательство.

( tg 2 t – sin 2 t ) ∙ ctg 2 t =

tg 2 t ∙ ctg 2 t – sin 2 t ∙ ctg 2 t =

tg 2 t ∙ ctg 2 t – sin 2 t ∙ ctg 2 t =

= 1 – sin 2 t ∙ ctg 2 t =

= 1 – sin 2 t ∙ ctg 2 t =

sin 2 t + cos 2 t = 1

Пример 4 . Найти значение выражения tg 2 t + ctg 2 t , если tg t + ctg t = 6 .

Решение.

( tg t + ctg t ) 2 = 6 2 ;

tg 2 t + 2 ∙ tg t ∙ ctg t + ctg 2 t = 36 ;

tg 2 t + 2 ∙ tg t ∙ ctg t + ctg 2 t = 36 ;

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36;

tg 2 t + ctg 2 t = 36 – 2;

tg 2 t + ctg 2 t = 34.

Ответ: tg 2 t + ctg 2 t = 34.