Занятие №4 Основные понятия теории вероятностей

Занятие №4

Основные понятия теории вероятностей

Цель: познакомиться с основными понятиями теории вероятностей, изучить основные свойства и теоремы .

Основные понятия:

• Случайные события.
• Операции над событиями
• Частота.
• Классическая формула вероятности
• Свойства вероятности
• Статистическая и геометрическая вероятности
• Сложение вероятностей
• Теорема сложения вероятностей
• Умножение вероятностей
• Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность
• Вероятность появления хотя бы одного события
• Формула полной вероятности
• Формула Байеса
• Формула Бернулли
• Локальная теорема Лапласа
• Интегральная теорема Лапласа
• Распределение Пуассона

Случайные события

Событие - явление , которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление комплекса условий называется опытом или испытанием. Событие- результат испытания.

Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания ( при бросании монеты может выпасть орел , а может и не выпасть).

Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания ( извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами).

Невозможным считается событие , которое не может произойти в результате данного испытания( извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами).

Случайные события

Событие А называется благоприятствующим событию В , если появление события А влечет за собой появление события В .

События А и В называются не совместными , если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого ( испытание: стрельба по мишени ; А -выбивание четного числа очков;

В - не четного).

События А и В называются совместным , если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого( А - в аудиторию вошел учитель; В - вошел студент).

Случайные события

Два события А и называются противоположными , если не появление одного из них в результате испытания влечет появление другого( отрицание А ).

Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий.

События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое

( А -орел; В -решка).

Операции над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Пример:

в ящике находится красный, черный и белый шары.

А- извлечение черного шара

В- извлечение красного шара

С- извлечение белого шара

А+В – извлечен черный или красный шар

В+С – извлечен красный или белый шар

А+С – извлечен черный или белый шар

Операции над событиями

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Пример: происходят следующие события:

А- из колоды карт вынута ” дама ”

В- вынута карта пиковой масти

А∙В – событие – вынута карта “ дама пик ”

Частота

Определение. Частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний,

в которых это событие наступило (благоприятные испытания), к числу всех испытаний.

, где m – число испытаний с

благоприятным исходом,

n – число всех испытаний.

Нахождение частоты предполагает, чтобы испытание было проведено фактически.

Классическая формула вероятности

Вероятность события - это численная мера объективной возможности ее появления. Если имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий, то вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.

N – число всех исходов испытания

М – число исходов благоприятствующих

событию А

Нахождение вероятности не требует, чтобы испытание проводилось в действительности.

Свойства вероятности:

• Вероятность достоверного события равна 1

• Вероятность невозможного события равна 0

• Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству

Статистическая и геометрическая вероятности

Было замечено , что при многократном повторении опытов относительная частота появления события в этих опытах стремится к устойчивости. Под относительной частотой появления события понимается отношение М /N , где N - число опытов; М -число появления события. При увеличении опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления события называют статистической вероятностью . С возрастанием числа опытов, относительная частота стремится к вероятности Р(Г)=0,5 . Относительную частоту при достаточно большем числе опытов , можно считать приближенным значению вероятности.

Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области.

Пример 1.

1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность что шар будет белым, черным ?

N =10; М=6; А- Извлечение белого шара

N =10; М=4; А- Извлечение черного шара

2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных,

извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он:

А- черный; В- белый; С- красный; D - зеленый

N =10; М=2

N =10; М=4

N =10; М=4

N =10; М=0

Пример 2. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёлтых. Шары тщательно перемешаны. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется:

а) красным; б) синим; в) жёлтым?

Решение:

а)

б)

в)

Пример 3.

Из собранных 10велосипедов только 7 не имеют дефектов.

Какова вероятность того, что

4 выбранных велосипеда из этих

10 окажутся без дефекта?

Решение :

Сложение вероятностей

D и E называются несовместными событиями .

Сложение вероятностей

Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Пример 1 .

В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара.

Решение :

Пример 2.

В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите вероятность того, что из 6 наугад отобранных деталей окажется не более одной нестандартной.

Решение :

- всего событий

Событие А – все 6 отобранных деталей стандартные,

событие В – среди 6 отобранных деталей одна

нестандартная.

- благоприятные события для А

- благоприятные

события для В

Теорема сложения вероятностей

Сумма вероятностей противоположных событий

равна 1

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Умножение вероятностей

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Пример 1.

Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза.

Решение :

Пример 2 .

Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, а при стрельбе из второго орудия равна 0,7.

Найдите вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждое орудие сделало по одному выстрелу.

Решение :

событие А – попадание в цель 1-го орудия; событие В – попадание в цель 2-го орудия.

событие

- промах 1-го орудия

событие

- промах 2-го орудия

события

независимые

и

события А,В и

противоположные

Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность

Условной вероятностью называется вероятность

события В , вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного из событий

независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместимых событий

Определение. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

ПРИМЕР.

Имеются 5 урн. В двух урнах по 2 белых и одному чёрному шаров. В одной 10 чёрных. В двух по 3 белых и одному чёрному шаров. Найти вероятность того, что вынутый наудачу выбранной урны шар окажется белым.

Решение:

Формула Байеса

Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий, В 1 , В 2 , В 3 ,…,В n , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса , формуле вероятности гипотез:

Задачи

1.   В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта ?

Решение:  Пусть A - событие, состоящее в том, что взятая деталь окажется первого сорта, а H1 , H2 и H3 - гипотезы, что она изготовлена соответственно на 1, 2 и 3 станке. Вероятности этих гипотез соответственно равны:

     далее, из условия задачи следует, что:

Используя формулу полной вероятности, получим искомую вероятность

Задачи

2. В водоеме обнаружено загрязнение с превышением ПДК.

Потенциальные источники - два предприятия, причем выбросы на первом происходят в 9 раз чаще, чем на втором.

Только 15% сбросов первого предприятия превышают ПДК. Для второго предприятия эта вероятность равна 92%

Кто виноват ? !

Решение :

Задачи

3. Из 10 учеников, пришедших на экзамен, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно и один совсем не подготовился. В билетах 20 вопросов. Отличники могут ответить на все вопросы, хорошисты – на 16, троечники – на 10, а двоечники – на 5 вопросов. Каждый ученик получает 3 вопроса. Приглашенный первый ученик ответил на три вопроса. Какова вероятность, что он отличник ?

Решение :

А= { ученик ответил на три вопроса } ,

H 1 = { приглашенный ученик отличник } ,

H 2 = { ученик-хорошист } , H 3 = { ученик-троечник } ,

H 4 = { ученик-двоечник } .

Формула Бернулли

Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна Р , Р( 0

q=1-p ; q - вероятность противоположного события, где

n – общее количество испытаний, к – количество наступивших испытаний.

или

Пример.

Подбрасываем 10 раз кубик. Какова вероятность, что пятерка выпадет ровно 4 раза?

Решение. Схема испытаний Бернулли.

p=1/6, q=1-1/6=5/6.

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна

где

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна

где

Интегральная теорема Лапласа

Для вычислений по формуле имеются таблицы. В таблицах приведены значения функции

для положительных значений аргумента. Значения для отрицательных значений аргумента вычисляются по формуле

На рисунке приведены графики функций Ф (x) (черным цветом) и подынтегральной функции (красным цветом)

Пример 1 . Какова вероятность, что из 100 подбрасываний кубика четверка выпадет ровно 3 0 раз.

n=100, m=30, p=1/6, q=1-1/6=5/6

Пример 2 . Какова вероятность, что из 100 подбрасываний кубика 4 выпадет от m 1 = 15 до m 2 = 25 раз.

Задача 3 . Сколько раз нужно подбросить кубик, чтобы частота отличалась от вероятности не более чем на 0.005 с

вероятностью 0.9?

Решение. Основная формула.

В нашем случае p=1/6 , , =0.9 .

Роль x 1 , x 2 теоремы Лапласа играют

Из теоремы Лапласа

Подставив числа, получим уравнение относительно n

По таблице ищем значение аргумента функции Лапласа такое, что ее значение равно 0.95. Это 1.65. Отсюда находим n

n=15125

Распределение Пуассона

Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона .

Теорема:

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np= ,

то вероятность Р n (m) того, что в n независимых испытаниях

событие А наступит m раз, приближенно равна