Диагностическая работа по математике в форме ЕГЭ по профильной математике, вариант 1

Единый государственный экзамен, 2022 г.

МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

Тренировочный вариант №2 от 19/05/20221

10 / 4

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 19-05-22

Единый государственный экзамен
по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Часть 1 содержит 11 заданий базового и повышенного уровней сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 7 заданий с развернутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–11 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные материалы

Ответом к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1

Н

1

2

3

айдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

Ответ: ___________________________.

На фабрике керамической посуды 30% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Ответ: ___________________________.

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Ответ: ___________________________.

Н

4

5

6

айдите , если и .

Ответ: ___________________________.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A₁, B₁, D₁, E₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Ответ: ___________________________.

На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке . Найдите значение производной функции в точке x₀.

Ответ: ___________________________.

7

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

Ответ: ___________________________.

П

11

ри двух одновременно работающих принтерах расход бумаги составляет 1 пачку за 12 минут. Определите, за сколько минут израсходует пачку бумаги первый принтер, если известно, что он сделает это на 10 минут быстрее, чем второй.

Ответ: ___________________________.

Н

9

а рисунке изображён график функции вида , где числа a, b, c и d −  целые. Найдите

Ответ: ___________________________.

В

10

ящике 14 красных и 12 синих фломастеров. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счёту?

Ответ: ___________________________.

Н

11

айдите наименьшее значение функции на отрезке .

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы.

ЧАСТЬ 2

Для записи решений и ответов на задания 12–18 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (12, 13 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

а

12

) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

В

13

правильной четырёхугольной пирамиде точка является серединой ребра , а точка − серединой стороны основания . Плоскость пересекает ребро в точке

а)  Докажите, что

б) Найдите угол между плоскостями и , если
, а высота пирамиды равна 20.

14

Решите неравенство

.

В

15

июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

О

16

кружность с центром , вписанная в треугольник , проходит через середину отрезка и касается сторон и в точках и соответственно.

а)  Докажите, что .

б)  Прямая пересекает прямую в точке . Найдите площадь треугольника , если радиус окружности вписанной в треугольник равен 6,

Н

17

айдите все значения , при каждом из которых система неравенств

не имеет решений, а каждое из неравенств этой системы имеет хотя бы одно решение.

Д

18

ля квадратичной функции уравнение имеет два различных корня, каждый из которых является целым отрицательным числом.

а) Может ли быть верным равенство ?

б) Может ли быть верным равенство ?

в) Найдите наименьшее значение дискриминанта квадратного трёхчлена , если ?

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.