Диагностическая работа по математике в форме ЕГЭ по профильной математике, вариант 2

Единый государственный экзамен, 2022 г.

МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

Тренировочный вариант №1 от 19/05/20221

10 / 4

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 19-05-22

Единый государственный экзамен
по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Часть 1 содержит 11 заданий базового и повышенного уровней сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 7 заданий с развернутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–11 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные материалы

Ответом к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1

Н

1

айдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

Ответ: ___________________________.

Н

2

а фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

О твет: ___________________________.

П

3

ериметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, а радиус окружности равен 6. Найдите длину СВ.

Ответ: ___________________________.

Найдите , если и .

Ответ: ___________________________.

Н

5

6

4

айдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, F, B₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 3.

Ответ: ___________________________.

На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке . Найдите значение производной функции в точке x₀.

Ответ: ___________________________.

8

7

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится вчетверо, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 20?

Ответ: ___________________________.

8

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?

Ответ: ___________________________.

Н

9

а рисунке изображён график функции вида , где числа a, b, c и d −  целые. Найдите

Ответ: ___________________________.

В

10

ящике 7 красных и 9 синих фломастеров. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счёту?

Ответ: ___________________________.

Н

11

айдите наименьшее значение функции на отрезке .

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы.

ЧАСТЬ 2

Для записи решений и ответов на задания 12–18 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (12, 13 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

а

12

) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

В

13

правильной четырёхугольной пирамиде точка является серединой ребра , а точка − серединой стороны основания . Плоскость пересекает ребро в точке

а)  Докажите, что

б) Найдите угол между плоскостями и , если
, а высота пирамиды равна 15.

Р

14

ешите неравенство

.

В

15

июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 825 тыс рублей?

О

16

кружность с центром , вписанная в треугольник , проходит через середину отрезка и касается сторон и в точках и соответственно.

а)  Докажите, что .

б)  Прямая пересекает прямую в точке . Найдите площадь треугольника , если радиус окружности вписанной в треугольник равен 4,

Н

17

айдите все значения , при каждом из которых система неравенств

не имеет решений, а каждое из неравенств этой системы имеет хотя бы одно решение.

Д

18

ля квадратичной функции уравнение имеет два различных корня, каждый из которых является целым отрицательным числом.

а) Может ли быть верным равенство ?

б) Может ли быть верным равенство ?

в) Найдите наименьшее значение дискриминанта квадратного трёхчлена , если ?

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.