Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и применение этих понятий при решении задач прикладного характера

Аннотация

Данное работа содержит теоретический материал по теме "дифф урав с раздел переменными" с подробным разбором примеров и задач , а так же задания для самостоятельной работы на уроке или вне аудитории, может быть использовано при изучении данной темы для всех специальностей техникума

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Основные понятия. Геометрический смысл.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производную.

Так как производную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнение может содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Итак, вид дифференциального уравнения первого порядка

.

В частных случаях в левую часть уравнения могут не входить х, либо у, но всегда входит у^’.

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка удается записать в виде

.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, обращающая его в тождество при подстановке в него этой функции и ее производной взамен неизвестной функции и ее производной.

Рассмотренные ранее примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений, отличающие произвольной постоянной С, придавая которой разные числовые значения, получают разные решения.

Несмотря на то, что рассмотренные примеры носят частный характер, все-таки, не приводя доказательств, сделаем обобщение:

Любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, которые определяются формулой, содержащую одну произвольную постоянную. Записывать эту совокупность решений будем в виде

.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется совокупность его решений, определяемая формулой , где С – произвольная постоянная.

Придавая С произвольные числовые значения, можно получать частные решениг я

Замечание 1.Получить решение в виде , т.е. искомая функция выражается через х и С в явном виде, не всегда возможно. Бывает, что решение получается в виде - неявное выражение у через х и С. В этом случае его – решение - называют общим интегралом.

Замечание 2. Количество постоянных в общем решении дифференциального уравнения зависит от его порядка. Точнее: каков порядок дифференциального уравнения столько постоянных, причем различных, в общем решении этого уравнения.

Замечание 3. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения иногда называют интегрированием дифференциального уравнения.

Выясним геометрический смысл как уравнения , так и его решений: общего и частного.

Итак, пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение . Как известно, - угловой коэффициент касательной к кривой, в нашем случае угловой коэффициент касательной, проведенной к , т.е. решению данного уравнения, в некоторой точке (х,у). Беря конкретные точки будем получать конкретные значения у^’. Таким образом, в каждой взятой точке будет указано направление касательной к кривой, являющейся решением данного уравнения. Говорят, уравнение задает поле направлений в некоторой области.

Найти решение этого уравнения - значит найти кривую, касательная к которой в каждой ее точке совпадала бы с направлением поля в этой точке.

Таких кривых будет не одна, а целое семейство (построение можно начинать с любой точки области).

Пример:

Пусть дано уравнение . Найдем значения у^’, задавая х, у (х 0).

Г
рафически:

Это поле направлений .

Решение же этого уравнения – функция ( убедитесь непосредственно подстановкой) – семейство гипербол. Графически:

Каждая гипербола – частное решение – получается при заданном значении С.

При решении конкретных задач преимущественно интересны частные решения для наперед заданных начальных условиях. Для того, чтобы из общего решения выделить требуемое частное, а не какое-либо, следует задать начальные условия.

Геометрически это означает: из семейства кривых выделить одну кривую, которая проходит через наперед заданную точку.

Аналитически: задают пару соответствующих друг другу значений , подставляя эти значения в общее решение дифференциального уравнения , находят значение С=С₀. Кривая - есть частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям .

Отыскание решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям (х₀,у₀), является одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.

Пример: Пусть нужно решить уравнение , при начальных условиях .

Решение.

Общим его решением является функция - семейство гипербол. Давая значения С, получим какие-либо частные решения: , ,

Для решения задачи Коши решаем относительно С уравнение - общее решение - при х=1, у=2: , т.е. С=2. Тогда решением задачи Коши является .

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

,

т.е.правая часть уравнения есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – только от у.

Такое уравнение можно записать и в виде

,

т.е. переменные разделены в буквальном понимании, т.е. каждая из переменных содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал.

В обеих частях уравнения стоят дифференциалы некоторых функций. Справа этот дифференциал выражен явно через независимую переменную х, а слева через промежуточную переменную у, которая является функцией х. Именно эта зависимость у от х и является искомой.

Интегрируя это уравнение, получается

,

т.е. связь между у и х, освобожденная от их дифференциалов.

Если заданы начальные условия , то, используя их для определения С, получается частное решение.

Пример: Решить уравнение , при начальных условиях .

Решение.

Уравнение запишем в виде , или, что все равно . Интегрируем обе части , получается , или , что является общим решением. При интегрировании постоянную написали в виде ln|C| исключительно для удобства потенцирования.

Для решения задачи Коши, определяем/вычисляем значение С, используя начальные условия: , следовательно, С=2.

Итак, частное решение уравнения , при начальных условиях есть функция .

Для комфортности ощущений проведите самостоятельно графическое решение и убедитесь в отсутствии противоречий.

Прикладные задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

З
адача 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания

Решение.

Пусть - уравнение искомой кривой, М(х,у) – произвольная точка, лежащая на этой кривой.

Угловой коэффициент касательной в этой точке равен у^’ . По условию задачи АМ=МВ, т.е. ОР=РА=х, а, значит, в любой точке М, принадлежащей кривой , следовательно, .

Получилось соотношение, связывающее неизвестную функцию у, независимую переменную х, производную от у по х, т.е. получилось дифференциальное уравнение относительно у. Этому уравнению удовлетворяет функция где С – любое число.

Итак, указанным в задаче свойством обладает бесконечное множество/ «семейство» кривых, отличающихся между собой значением постоянной С. Это семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат.

Для того, чтобы из этого семейства выделить одну кривую, достаточно задать конкретную точку (х₀,у₀), через которую будет проходить кривая, и определить соответствующее значение С из .

Задача 2.(радиоактивный распад). Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества равно М₀, найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества М и временем t.

Решение.

Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества М по времени t, т.е. . Но по условию

,

где k – коэффициент пропорциональности. Знак минус берется потому, что с возрастанием t количество вещества М уменьшается. Обращаем внимание на тот факт, что величина М₀ не входит в полученное дифференциальное уравнение: она войдет как начальное условие .

Уравнению удовлетворяет функция . Подставляя начальные условия , получается С=М₀.

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условиям задачи

.

Постоянную k можно установить экспериментально (такой метод очень часто применяется в подобных случаях), установив количество нераспавшегося вещества в какой-то момент времени.

Задача 3. (охлаждение тела). Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды. Требуется получить закон (аналитический вид) охлаждения тела.

Решение.

Пусть тело нагрето до температуры Т₀. Температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Т_с (Т_с0).

Найдем зависимость между изменяющейся температурой Т тела и временем t.

Пусть в момент времени t температура тела равна Т. Скорость изменения температуры, т.е. , по закону Ньютона пропорциональна разности Т-Т_с. Следовательно,

.

Знак минус выбран потому, что с возрастанием t температура Т тела уменьшается. Коэффициент пропорциональности k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы (понятно, что скорость охлаждения раскатанного листа стали больше, чем стального слитка).

Разделяя переменные, получим

.

Отсюда

,

или, что все равно

.

Подставляя начальное условие , получается С=Т₀-Т_с.

Тогда закон охлаждения тела имеет вид

.

Коэффициент пропорциональности k должен быть либо задан, либо установлен экспериментальным путем измерения температуры Т в некоторый момент времени t. Заметим, что теоретически температура тела сравняется с температурой окружающей среды лишь при .

Задания для самостоятельного решения

Задача 1. Решить уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

Задача

Найдите кривые, у которых тангенс угла между касательной и положительным направлением оси ОХ обратно пропорционален абсциссе точки касания(Коэф.пропорциональности равен единице)

Задача

Найдите кривые, у которых тангенс угла между касательной и положительным направлением оси ОХ равен квадрату ординаты точки касания. Выделите кривую, проходящую через точку М(0,1)