"Двугранный угол" 10 класс Геометрия

С

D

В

А

Двугранный угол

Геометрия

10 класс

Повторение

1.Что называют углом?

2. Виды углов по градусной мере

1) острые

3) прямые

2) тупые

3. Как называются углы, на рисунках?

Определение

Двугранным углом называется фигура,

образованная двумя не принадлежащим одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую

Элементы и обозначение двугранного угла

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями

С

Общая граница этих полуплоскостей называется ребром двугранного угла

D

В

А

Угол CBDA

Измерение двугранного угла

Линейным углом двугранного угла называется сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру

С

О

В

А

D

Измерение двугранного угла

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла

Р

М

В

• Отметить на ребре любую точку
• К каждой грани провести перпендикуляр из этой точки
• Полученный угол – линейный угол двугранного угла

А

С

D

Р

АВМС =

Угол Р – линейный угол двугранного угла АВМС

Нахождение линейного угла

1 . Найти ( увидеть ) ребро и грани двугранного угла

2. В гранях найти направления (прямые), перпендикулярные ребру

3. (при необходимости) заменить выбранные направления параллельными им лучами с общим началом на ребре двугранного угла

При изображении сохраняется параллельность и отношение длин параллельных отрезков

и АСВ

АС

АСР

прямая СВ перпендикулярна ребру СА ( по условию)

В грани АСВ

В грани АСР

прямая СР перпендикулярна ребру СА

( по теореме о трех перпендикулярах)

угол РСВ - линейный для двугранного угла с ребром АС

Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла, т.к. все линейные углы двугранного угла равны

Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1 .

Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1 , поэтому они сонаправлены

Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены

Следовательно, ∠ АОВ= ∠ А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами)

A

A 1

O 1

O

B

B 1

Аналогично тому , как и на плоскости , в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы



β

а

β 1

β

 1



γ

а

К

АС

АСР

и АСВ

прямая ВО перпендикулярна ребру СА

( по свойству равностороннего треугольника)

В грани АСВ

В грани АСР

прямая РК перпендикулярна ребру СА

( по теореме о трех перпендикулярах)

Угол РКВ - линейный для двугранного угла с Р СА В

Решение задач на готовых чертежах

Домашнее задание

• П. 22 – выучить определения;

• № 166, №170

(провести перпендикуляр

из В к продолжению АС)

Дополнительные задачи

Р

А

Задача №3

Т

В

М

С

К

А) Двугранный угол РТМК :

(1) ребро МТ , грани МТР и МТК

прямая ТР перпендикулярна ребру МТ

(2) В грани МТР

( по определению прямой, перпендикулярной плоскости)

прямая МК перпендикулярна ребру МТ

( по условию)

В грани МТК

Р

Задача №3

А

Т

В

М

С

К

АВ параллельна РТ (по построению), а так как РТ перпендикулярна ребру МТ ( по доказанному) , то АВ перпендикулярна ребру МТ (по лемме о связи параллельности и перпендикулярности) Аналогично ВС перпендикулярна ребру МТ. Значит, угол АВС – искомый

P

Задача №3

T

M

K

б) Двугранный угол РМКТ :

(1) ребро МК , грани МКР и МКТ

(2) В грани МТК

прямая МТ перпендикулярна ребру МК ( по условию)

В грани МКР

прямая МР перпендикулярна ребру МК

( по теореме о трех перпендикулярах)

Ответ. У гол РМТ - линейный для двугранного угла с РМКТ

P

Задача №3

У

M

T

Х

K

в) Двугранный угол РТКМ :

(1) ребро ТК , грани ТКМ и ТКР

(2) В грани МТК

прямая МХ , где Х – середина КТ , перпендикулярна ребру КТ ( по свойству равнобедренного треугольника)

прямая РТ перпендикулярна ребру КТ

( по определению прямой перпендикулярной плоскости)

В грани КРТ

P

Задача №3

У

T

M

Х

K

в) Двугранный угол РТКМ :

3) Построим прямую УХ параллельно прямой РТ , она будет лежать в плоскости РКТ (почему?) получим , что прямая ХУ перпендикулярно ребру КТ

(по лемме о связи параллельности и перпендикулярности)

Значит, искомый угол УХМ