ЕГЭ - 2022, задание 14. Системы счисления, тест 1

ЕГЭ – 2022, задание 14, тест 1, задача 2

Решите уравнение

60 8 +x=200 5

Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

________________________________________________________

Решение

В данном уравнении используются недружественные системы счисления, поэтому для решения переводим все числа в десятичную систему и там находим значение числа х .

Здесь 60 8 = 48, 200 5 = 50, тогда х = 50 – 48 = 2 = 2 6

Ответ : 2

ЕГЭ – 2022, задание 14, тест 1, задача 3

Решите уравнение

100 5 +x=200 4

Ответ запишите в семеричной системе счисления.

Основание системы счисления указывать не нужно.

________________________________________________________

Решение

В данном уравнении используются недружественные системы счисления, поэтому для решения переводим все числа в десятичную систему счисления и там находим значение числа х : 100 5 +x=200 4.

Здесь 100 5 = 25, 200 4 = 32. Тогда х = 32 – 25 = 7 = 10 7

Ответ : 10

ЕГЭ – 2022, задание 14, тест 1, задача 4

Решите уравнение

33 x+4 - 33 4 = 33 10

Ответ запишите в десятичной системе счисления.

________________________________________________________

Решение

Распишем выражение в развернутой форме чисел, получим:

33 х+4 – 33 4 = 33

Здесь 3*(х+4) + 3 – 3*4 -3 = 33, то есть 3*х + 12 + 3 – 12 – 3 = 33

тогда 3х = 33 и х = 11

Ответ : 11

ЕГЭ – 2022, задание 14, тест 1, задача 5

Определите число N, для которого выполняется равенство 103 N = 97 N+2

________________________________________________________

Решение

Получим развернутую форму записи уравнения в системе счисления N:

103 N = N 2 + 3

97 N+2 = 9 * (N + 2) + 7 = 9*N + 18 + 7 = 9*N + 25

Тогда N 2 + 3 = 9*N + 25, или N 2 - 9*N + 22 = 0. Корни этого уравнения равны -2 и 11 и так как N – натуральное число, то N = 11.

Ответ : 11

ЕГЭ – 2022, задание 14, тест 1, задача 6

Определите число N, для которого выполняется равенство 132 N + 13 8 = 124 N+1

________________________________________________________

Решение

Получим развернутую форму записи уравнения в системе счисления N:

132 N + 13 8 = 124 N+1

132 N = N 2 + 3*N + 2 , 13 8 = 11,

124 N+1 = (N+1) 2 + 2*(N+1) + 4 = N 2 + 2*N + 1 + 2*N + 2 + 4 = N 2 + 4*N + 7

Тогда N 2 + 3*N + 2 + 11 = N 2 + 4*N + 7, или N 2 + 3*N + 13 = N 2 + 4*N + 7.

После упрощения выражения получаем N = 6 .

Ответ : 6

ЕГЭ – 2022, задание 14, тест 1, задача 7

В какой системе счисления выполняется равенство

21 X · 13 X = 313 X ?

В ответе укажите число – основание системы счисления. ________________________________________________________

Решение

Распишем выражение в развернутой форме чисел, получим:

21 х * 13 х = 313 х

Запишем умножение в столбик : 21

х 13

10 3 Выражение 2 * 3 = 10

+ 21 только в шестеричной системе

313 счисления, то есть х = 6

Ответ: 6

3. Тогда множество чисел N ={4, 6, 9, 12, 18, 36}, то есть всего 6 таких чисел. Ответ : 6 " width="640"

ЕГЭ – 2022, задание 14, тест 1, задача 8

Сколько существует систем счисления, в которых запись числа 39 оканчивается на 3 ?

________________________________________________________

Решение

Последняя цифра числа – это первый остаток от деления его на другое число. Тогда системы счисления N (делители этого числа) кратны разности 39 – 3 = 36 и при этом N 3.

Тогда множество чисел N ={4, 6, 9, 12, 18, 36}, то есть всего 6 таких чисел.

Ответ : 6

ЕГЭ – 2022, задание 14, тест 1, задача 9

Десятичное число, переведенное в восьмеричную и в девятеричную систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0 . Какое минимальное натуральное число удовлетворяет этому условию?

________________________________________________________

Решение

Последняя цифра числа – это первый остаток от деления его на другое число.

Следовательно, искомое число делится без остатка и на 8, и на 9, тогда НОК(8, 9) = 72.

Ответ : 72

ЕГЭ – 2022, задание 14, тест 1, задача 10

Найдите десятичное число x, такое что

20 ,

запись которого в системе счисления с основанием 3 заканчивается на 11 .

________________________________________________________

Решение

В указанный диапазон попадают десятичные числа от 21 по 29 .

Переведем их в троичную систему счисления:

22 = 211 3 , …. – и далее переводить уже не нужно,

так как ответ найден.

Ответ : 22