Флексагон

Министерство образования и науки РФ

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Новоленинская средняя общеобразовательная школа

Нукутского района Иркутской области

Флексагоны. Флексоры

Выполнила: Дмитриева Дарья,

учащаяся 7 класса

Руководитель: Барташкина О.В.,

учитель математики

Новоленино

2014г.

Содержание

1. Введение

2. История открытия флексагонов и их понятие

3. Складывание флексагонов и флексора

4. Применение флексагонов в повседневной жизни

5. Заключение

Введение

Тема данной работы «Флексагоны.Флексоры». Актуальность темы очевидна, если посмотреть на мир флексагонов со стороны занимательной математики. Статьи о них можно встретить даже в специализированных журналах, например таких, как «Наука и жизнь», «Квант». Всегда интересно встретить что-то необычное, будь то предметы интерьера или даже стенды с рекламой. Такие вещи привлекают внимание, и если они сделаны качественно, то поднимают нам настроение и радуют глаз. К таким предметам и относятся флексагоны. В начале, может показаться, что это всего лишь игрушки, но они таят в себе много загадок и головоломок.

Флексагоны привлекли внимание во многих отраслях:

·      связь с наукой химией – некоторые молекулы закручены в форме флексагонов (журнал «Химия и жизнь»);

·      реклама – из-за своего необычного цикла изгибания флексагоны привлекают внимание;

·      связь с математическими понятиями: лента Мебиуса, Тор (тороид). При этом эти «игрушки» подчинены строгим правилам математики;

·      подарочные товары, такие как открытки и игрушки.

·      предметы интерьера – лампы, подушки.

Целью данной работы является проведение анализа имеющейся информации о флексагонах и флексорах, освоение методик складывания простейших флексагонов, таких как тригексафлексагон, гексагексафлексагон и флексора.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:

- раскрыть содержание понятия «флексагон», «флексор»;

- проанализировать схемы построения флексагонов, флексоров;

- выявить применения флексагонов в жизни человека;

- создать модели простейших флексагонов, флексоров.

- провести эксперименты с ними.

Теоретическая база работы основана на публикациях известного американского математика и писателя Мартина Гарднера, И.Д. Кана в журнале «Наука и жизнь», а также на публикациях А.А. Панова в журнале «Квант».

Практическая значимость данной работы исходит из возможности построения различного рода моделей флексагонов из любых материалов и для любых предметов, с которыми сталкивается человек в повседневной жизни.

Нами выполнена следующая работа:

·      сбор и анализ информации – изучение материала по теме;

·      составление реферата – объединение данных, оформление сведений;

·     создание презентации – представление имеющейся информации, используя информационные технологии;

·     практическая часть на основе теоретической – создание моделей флексагонов и флексоров и проведение эксперимента.

История открытия флексагонов и их понятие

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Х. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги в трех местах и, соединив концы, он получил правильный шестиугольник.

Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. При этом Стоуну удалось найти настолько интересную конфигурацию, что он решил показать свои бумажные модели друзьям по университету. Вскоре «флексагоны» в изобилии стали появляться на столе во время завтраков и обедов, когда вся компания собиралась вместе. Для проникновения в тайны «флексалогии» был организован «Флексагонный комитет».

Постоянные модели были названы гескафлексагонами: «гекса» - из-за шестиугольной формы, «флексагонами» - из-за их способности складываться. От греческого «гекс», что означает шесть и английского toflex– складываться, сгибаться, гнуться.

Таким образом, флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу.

3.1. Тригексафлексагон

Полоску бумаги, предварительно размеченную на 10 равносторонних треугольников (Приложение А, рис.а), перегибают по линии ab и переворачивают.

Затем ещё раз перегибают по линии cd (Приложение А, рис. б):

После этого, располагают концы полоски так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (Приложение А, рис. в).

В заключительном этапе, нужно последний треугольник подогнуть вниз и приклеить к оборотной стороне первого треугольника (Приложение А, рис. г).

Процесс изготовления флексагона приведен в приложении Б.

3.2. Гексагексафлексагон

Для того чтобы сложить этот флексагон, необходима полоска бумаги, разделенная на 19 равносторонних треугольников. Треугольники на каждой стороне бумаги должны быть пронумерованы или раскрашены (также можно нарисовать какие либо рисунки или фигуры), но так, чтобы каждой цифре соответствовал только один цвет (соответственно, рисунок или фигура). При этом нумерация или цвет, должны быть расположены в определенном порядке, представленном на рис. а приложения В. Последний девятнадцатый треугольник остается незаполненным.

Для удобства будем считать, что наши треугольники пронумерованы в определенном порядке. Полоску бумаги складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга – 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. После такой операции получается заготовка для гексагексафлексагона, показанная на рис. б приложения В. Т.е. можно сказать, что получили рис. 1 приложения А – исходная полоска бумаги для трифлексагона.

Следовательно, дальнейшее сложение напоминает схему сложения для трифлексагона. Также перегибаем полоску по линиям ab и cd (рис. в, рис.г приложения В).

Получаем шестиугольник. Подворачиваем вниз пустой треугольник, торчащий вправо (рис. д приложения В), и приклеиваем его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски.

В случае верно сложенного флексагона, во всех треугольниках видимой стороны должна быть цифра 1, а на обратной стороне – цифра 2 (рис. д приложения В). Можно начинать перегибать флексагон. Схема перегибания схожа с перегибанием тригексафлексагона, также можно использовать «путь Таккермана». (рис.е)

Проведенный нами эксперимент по перегибанию флексагона показал, что наиболее часто ( в 3 раза чаще) появляются 1,2,3 поверхности, 4,5 и6 получить труднее.

3.3. Флексор

Это вращающееся кольцо из тетраэдров.

На листе бумаги нужно разместить фигуру, состоящую из 40 правильных треугольников и 13 клапанов (рис. а приложения Г). После того как мы ее вырежем, нужно будет сделать сгибы — по сплошным линиям сгибом вверх, а по пунктирным — вниз.

Теперь приступим к склейке. Сначала работаем с левой полоской из четырех красных треугольников. Изогнем ее и подклеим клапан так, чтобы из этих треугольников составился тетраэдр. Сдвинемся вправо и склеим следующий тетраэдр из желтых треугольников и так далее. После того как будет склеена цепочка из девяти тетраэдров, останутся четыре желтых треугольника. Теперь объединяем эти треугольники в последний, десятый тетраэдр и замыкаем цепочку. Флексор готов (рис.б)

Эта цепочка обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров — это первый пример флексора — изгибаемого многогранника.

Эксперимент, проведенный нами с флексорами, составленными из разного количества тетраэдров, показал, что с увеличением количества тетраэдров, увеличивается способность изгибаться все в более причудливые формы. При 6-и – получается жесткая конструкция, при количестве 22 и более - флексор может даже «заузливаться».

Модели флексагонов настолько различны по своей форме (гекса-, тетра-, треугольные и др.) и материалам изготовления, что в нашей жизни занимают достаточно большое место. В форме флексагона изготавливаются календари, открытки, предметы интерьера или просто развивающие игрушки, механизмы двойного шарнирного соединения используются в телефонах, планшетах, креплениях для настенных предметов, в деталях мебели. Флексагоны используют в качестве рекламных стендов, которые своим необычным эффектом привлекают к себе внимание.

Подводя итог по данной работе, отметим, что поставленные цели и задачи были выполнены. Проведен анализ имеющейся информации о флексагонах. Освоены методики сложения тригексафлексагона и гексагексафлексагона и флексора. Найдены примеры практического применения флексагонов.

Хочется отметить, что большого распространения данные фигуры не имеют, тем не менее, широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, техника.

В жизни, на наш взгляд, флексагоны найдут свое применение в рекламных проектах, прикрепляя к фигуре уже объемные фигуры (возможно, даже и не кубической формы). Многогранник можно использовать в качестве открытки – трансформера. Можно сделать из многогранника необычную форму для фотографий. Большое применение многогранник найдет в дизайнерском деле, так как цикл перегибаний интересен при создании диванов, кресел, стульев и других предметов.

В мире существует много неоткрытых поразительных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами. Флексагоны, хотя и были открыты в первой половине XX века, но до сих пор остаются загадкой, познание которой доставляет много радости и при этом развивает мышление.

В дальнейшем планируется дальнейшее изучение данной области и, возможно, создание новых моделей флексагонов.

Список использованной литературы

1.      А.А. Панов. Флексагоны. Флексоры. Флексманы. Ж. «Квант». – М.: «Бюро Квантум», 1988. № 7, C. 10 - 14

2.      Гарднер М. Математические головоломки и развлеченя: 2-е изд., испр. и дополн./ Пер. с анг. – М.: «Мир», 1999, 447с.

3.     И. Кан. Треугольные флексагоны. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Пресса», 1993. №12, С. 42 – 43

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

е)

Приложение Г

Рис а.

Рис б.