Геометрия снежинки

ГЕОМЕТРИЯ СНЕЖИНКИ

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Инженерно-технологический лицей» муниципального образования городской округ Люберцы Московской области

Белина Мария Александровна

Содержание

Введение 3

Глава 1 Структура снежинки 5

1.1 Молекулярное строение воды и ее свойства 5

Глава 2 Образование снежинок и их виды 7

2.1 Основные виды снежинок 7

2.2 Процесс образования снежинок 8

Глава 3 Снежинки и математика 9

3.1 Шесть осей симметрии как теория кристаллической структуры 9

3.2 Снежинки как фракталы 9

Заключание 11

Список литературы 13

Приложения 14

Введение

Сегодня мы познакомимся с историей изучения снежинок; узнаем, почему с наступлением холодов в воздухе кружатся легкие пушистые снежинки, откуда они берутся в небе, почему все снежинки разные; физические и геометрические свойства снежинок и много интересного и увлекательного.

Цель исследования: выявить и объяснить геометрические, физические и природные закономерности формирования снежинок, а также показать связь их структуры с математическими понятиями  симметрией и фракталами.

Задачи исследования:

• изучить молекулярное строение воды и объяснить причину шестигранной симметрии снежинок;

• проанализировать физические условия (температуру, влажность, давление), влияющие на разнообразие форм снежинок;

• рассмотреть историю научного изучения снежинок от Иоганна Кеплера до современных исследований;

• выявить связь между структурой снежинок и математическими понятиями  симметрией и фракталами;

• знакомиться с экспериментами, демонстрирующими возможное влияние внешних факторов (звука, слов, эмоций) на кристаллизацию воды;

• систематизировать основные понятия снежинок и условия их образования;

• подготовить наглядный и познавательный материал для популяризации междисциплинарных знаний о снежинках среди школьников.

Объект исследования: снежинки как природные кристаллические образования.

Предмет исследования: геометрическая структура снежинок, их симметрия, фрактальные свойства.

Гипотеза исследования: формы и структуры снежинок обусловлены молекулярным строением воды и атмосферными условиями, а их геометрическая структура и уникальность могут быть получены с помощью математических объяснений.

Глава 1 Структура снежинки
1. 1 Молекулярное строение воды и ее свойства

Если внимательно рассмотреть снежинку вы увидите, что у снежинки 6 лучей, вы можете сказать, что снежинка – это всего лишь замороженная вода, но сравнив ее с кубиком льда из морозильника, вы поймете, что это абсолютно разные вещи. Кубик льда образуется, когда вода из жидкого состояния превращается в кристалл. А снежинки появляются, когда замораживается рассеянный водяной пар, минуя жидкое состояние, но это не объясняет, почему у снежинки 6 лучей. Для этого нам придётся обратиться к физике.

Молекула воды состоит из одного атома кислорода и двух атомов водорода. Одна молекула воды содержит 10 протонов и 10 электронов, восемь из кислорода и по одному из атомов водорода. Внешняя электронная оболочка кислорода является общей для двух внешних электронов атомов водорода. Атомы водорода находятся ближе друг другу под углом 104, 5 градуса. Атом кислорода имеет отрицательный заряд, а атомы водорода положительный, поэтому к атому кислорода притягиваются атомы водорода других молекул (приложение 1). Когда вода замерзает образуется гексагональная – шестигранная кристаллическая решетка.

Вода – это единственное вещество, которое в земных условиях существует во всех трёх агрегатных состояниях: жидком – вода; твёрдом – лёд; газообразном – пар. О том, что вода при замерзании расширяется, мы знаем с детства. Оставьте на морозе бутылку с водой – она лопнет. Но мало кто задумывается, что благодаря этому свойству воды на Земле и зародилась жизнь. Большинство веществ при охлаждении и замерзании уменьшаются в объёме, что приводит к увеличению их плотности. А вот вода ведёт себя иначе. Охлаждаясь, она сначала тоже становится плотнее и сжимается, но, достигнув максимальной плотности при 4°С, затем начинает расширяться. В момент замерзания она и вовсе увеличивает объём скачкообразно – более чем на 8%.

Таким образом, замёрзшая вода становится легче жидкой, поэтому лёд держится на поверхности водоёмов, а не опускается на дно. Будь иначе, реки, озёра и моря в зимние месяцы промерзали бы целиком, превращаясь в гигантские глыбы льда. А оставаясь на поверхности, лёд препятствует дальнейшему замерзанию водоёмов, играет роль «плавучего одеяла» и выполняет полезную функцию – защищает от гибели весь подводный мир, всех обитающих в нём существ. Если бы не аномальная способность воды расширяться при замерзании, возникшая на Земле жизнь, скорее всего, погибла бы при первом похолодании.

Ещё вода – хороший растворитель, и за это чудесное свойство мы ей тоже должны сказать спасибо. Ведь благодаря ему в нашем организме протекают жизненно важные процессы: вода с растворёнными в ней компонентами твёрдых веществ, становится поставщиком всех необходимых нам микроэлементов. Содержась в нашей крови и лимфе, она разносит питательные вещества по всем тканям и их клеткам.

Вода на Земле постоянно очищает саму себя: замерзая, она вытесняет из кристаллической решётки льда всё лишнее. Поэтому даже на поверхности грязной лужи будут плавать практически прозрачные льдинки. А растаяв, вода вновь начинает растворять в себе почти все твёрдые вещества, с которыми встречается и соприкасается. И это такой же циклический процесс, как её круговорот в природе.

Глава 2 Образование снежинок и их виды

2. 1 Основные виды снежинок

Все мы прекрасно знаем, что все снежинки индивидуальны по своей форме и никогда не повторяются.

Самая простая из всех, тонкая и плоская, называется «пластинка». У неё много рёбер, которые делят кристалл на части.

Снежинки, напоминающие полый шестигранный карандаш, имеющие название «столбик» – самые распространённые из всех форм. Он могут быть на концах тупые или заострённые. Существует разновидность этого вида – столбик с наконечником. Этот вид получается, если обычный столбик попадает в определённые условия, при которых кристалл изменяет направление своего роста и постепенно на концах превращается в пластинку. Например, такое происходит при перемещении в другую температурную зону под воздействием ветра.

Существует еще такой вид, как дендриты. У этого экземпляра красивый ветвящийся силуэт, которым мы любим восхищаться. В нём есть шесть абсолютно симметричных основных лучиков и много разных ответвлений. Размером они около 5 миллиметров и обычно плоские. Однако, существуют и такие разновидности.

Следующий вид – игла. Это разновидность столбчатой снежинки, которая выросла тонкой и длинной. Бывает, что внутри у них полость, но иногда на концах они раскрываются в виде веточек.

Последний вид снежинок – это неправильные снежинки. В данный вид входят повреждённые представительницы, которые на пути к нам повредили свои веточки или совсем разломились на части. Такие покалеченные снежинки получаются обычно при сильном ветре, их много в сыром снеге (все эти виды представлены в приложении 2).

2. 2 Процесс образования снежинок

Так как же образуются снежинки? В плотных облаках, состоящих из водяного пара и очень мелких частичек пыли на больших высотах от поверхности Земли более 4000 м и начинается рождение снежинки. Частички пыли притягивают молекулы воды, образуя миникластер из 6 молекул, собирая все больше и больше молекул, превращаются в каплю, которая кристаллизируется, образуя шестигранник, и продолжает падать в облаке. Тем временем молекулы воды продолжают налипать сначала на грани кристалла, а потом на углы, образуя шестилучевую форму (приложение 3).

Причудливые формы снежинок зависят от многих факторов: как влажность, температура, давление перенасыщенных паров, влияние конвекционных потоков (скорость движения воздушных масс в облаке), гравитационного поля, электромагнитных излучений и акустики, поэтому невозможно найти двух абсолютно одинаковых снежинок.

Полые столбики, сплошные пластины, тонкие пластины образуются при более низкой влажности воздуха: температуры которых изменяются от 0 до -35 градусов. Чтобы получить дендриты, иглы, секторальные пластины и столбики влажность воздуха должна составлять не ниже 0, 1 г/м3 и для каждой формы соответствует своя температура: дендриты от 0 до 5 градусов, игл от -5 до -10 градусов. Для больших размеров и форм дендрит необходимо чтобы температура составляла от -10 до -20 градусов (приложение 4).

Самая крупная снежинка была засвидетельствована 28 января 1887 года в Форт- Кео Монтана США, она имела диаметр 38 см! Скорость, с которой падает снежинка, равна 1 км/ч, так как снежинка на 95 % состоит из воздуха. А вот белый цвет снежинок объясняется явлением сложения всех цветов в преломляющихся гранях кристалла. Из физики мы знаем, что белый цвет – этот сложный, состоящий из всех цветов спектра.

Глава 3 Снежинки и математика
3. 1 Шесть осей симметрии как теория кристаллической структуры

Зимние снежинки имеют самое непосредственное отношение к математике: все они имеют разнообразную, но характерную форму, которую узнаешь с первого взгляда, и являются хорошей иллюстрацией геометрического понятия симметрии. Снежинки настолько же прекрасны, насколько симметричны. Любая снежинка имеет центр и оси симметрии. Снежинка имеет шесть осей симметрии, что можно легко наблюдать при ближайшем рассмотрении. Это происходит из-за того, что каждый из ее шести граней является полностью симметричным относительно своей оси. Кроме того, центральная часть снежинки также симметрична относительно всех шести осей, что делает ее еще более привлекательной. Снежинки обладаю осевой, центральной и поворотной симметрией (приложение 5).

3. 2 Снежинки как фракталы

Ко всему прочему, снежинки хорошо иллюстрируют непростое, но очень интересное геометрическое понятие «фрактал». У этого понятия нет строгого определения. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

• обладает сложной структурой при любом увеличении;

• является (приближенно) самоподобной;

• обладает дробной фрактальной размерностью, которая больше топологической;

• может быть построена рекурсивными процедурами.

Фракталы – это бесконечно сложные структуры, которые самоподобны в разных масштабах. Бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования. Иными словами, насколько сильно вы не приближали бы настоящий фрактал, вы все равно увидите повторение в нем одного и того же узора, представляющего собой форму самого объекта.

Бенуа Мандельброт (20 ноября 1924 - 14 октября 2010) – французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии. Снежинка – это типичный и, пожалуй, самый наглядный пример фрактала. Из всего многообразия, известных на сегодня фрактальных линий, рассмотрим только их «новогодние» варианты – «математические снежинки».

Наиболее известной из таких линий является «снежинка Коха» - один из первых, исследованных учеными фракталов. Снежинка Коха является классическим примером непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Она обладает целым рядом удивительных свойств, и впервые была описана в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Вот, как она выглядит, а на рисунке показано, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация – просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация – ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Снежинка Коха, как и другие фракталы, имеет свою пару – антиснежинку Коха, которая получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника (приложение 6).

Заключение

В ходе проведённых исследований были всесторонне учтены природа, структура и условия формирования снежинок – одного из самых удивительных направлений зимней природы. Подтверждена гипотеза о том, что уникальность каждой снежинки обусловлена ​​сложным сочетанием физических и метеорологических факторов (температуры, влажности, давления, воздушных потоков), действующих на нее в процессе роста в облаках. При этом шестилучевая симметрия всех снежинок внутри гексагональной кристаллической решётки льда, возникла вследствие возникновения молекулярного заряда воды.

Было установлено, что снежинки – это не просто замёрзшие капли воды, а сложные кристаллы, образующиеся непосредственно из водяного пара в атмосфере. Их разнообразие форм (от простых пластинок до сложных дендритов) напрямую зависит от условий окружающей среды, что позволяет систематизировать основные виды снежинок и сопоставить их с температурно-влажностными режимами.

Особое внимание уделено темам междисциплинарного характера: снежинки стали мировыми границами физики, химии, метеорологии, биологии и математики. Их геометрическая основа принципов симметрии и фрактальности, знаменитая «снежинка Коха» стала мостом между природой и абстрактной математикой.

Таким образом, снежинка – это не только красивое природное явление, но и уникальный объект, раскрывающий глубинные законы природы. Шестилучевая структура всех снежинок обусловлена ​​гексагональной кристаллической решёткой льда, возникшей при замерзании водяного пара. Уникальность каждой снежинки строго индивидуальна. Снежинки обладают высокой степенью симметрии. Многие снежинки используют фрактальные свойства.

Изучение форм снежинок способствует созданию целостности научного мировоззрения, развивает интерес к существующим наукам и познаниям, поскольку даже самые простые на первый взгляд вещи могут скрывать в себе самые сложные и гармоничные закономерности. Полученные знания могут быть использованы в образовательной деятельности, а также в популяризации науки среди школьников и в других сферах.

Список литературы

1. Кеплер, И. Новогодний подарок или о шестиугольных снежинках / И. Кеплер; пер. с лат. и комментировать. Ю. А. Данилова. – М. : Наука, 1982. – 112 с.

2. Накайя, У. Снежные кристаллы: естественные и искусственные / У. Накайя. – Токио: Издательство Университета Хоккайдо, 1954. – 200 с.

3. Либбрехт, К. Г. Физика снежных кристаллов / К. Г. Либбрехт // Доклады об успехах физики. – 2005. – Т. 68, № 4. – С. 855–895. – DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R03.

4. Либбрехт, К. Как раскрываются снежинки / К. Либбрехт. – М. : Альпина нон-фикшн, 2020. – 224 с.

5. Эмото, М. Послания воды / М. Эмото. – М. : София, 2005. – 192 с.

6. Пёрышкин, А. В. Физика. 8 кл. : учебник для общеобразовательных. организации / А. В. Пёрышкин. – М. : Дрофа, 2020. – 237 с.

7. Гусев, В. А. Геометрия. 7–9 кл. : учеб. для общеобразовательных. организации / В. А. Гусев, А. И. Медяник. – М. : Просвещение, 2019. – 224 с.

8. Национальный центр данных по снегу и льду. Все о снеге [Электронный ресурс]. – Боулдер: Университет Колорадо. – URL: https://nsidc.org/crySphere/snow/index.html (дата обращения: 05.09.2025).

9. Научная лаборатория низких температур. Музей снега и льда [Электронный ресурс] / Университет Хоккайдо. – URL: https://www.lowtem.hokudai.ac.jp/snow/ (дата обращения: 05.09.2025).

Приложения

Приложение 1

Рисунок 1. Модель молекулы воды

Приложение 2

Основные виды снежинок

Рисунок 2. Пластинка

Рисунок 3. Столбик

Рисунок 4. Столбик с наконечником

Рисунок 5. Дендриты

Рисунок 6. Игла

Рисунок 7. Неправильные снежинки

Приложение 3

Рисунок 8. Процесс образования снежинки

Приложение 4

Рисунок 9. Влияние внешних факторов на кристаллизацию воды

Приложение 5

Рисунок 10. Симметрия снежинки

Приложение 6

Рисунок 11. Снежинка Коха

Рисунок 12. Антиснежинка Коха