"Геометрия в задачах ЕГЭ"

Подготовка к ЕГЭ.

Задачи В-13, 16- (базовый уровень. В-12 (профильный уровень)

Пронина Н.П., учитель математики МАНОУ «Гимназия №2», г.Мариинск, Кемеровская обл

Содержание:

• Теория
• Пирамиды
• Призмы
• Задачи с «выемками»
• Задачи «фигура в фигуре»
• Задачи на увеличение/уменьшение

Немного теории

Пирамида - многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников.

Призма - многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани- параллелограммы.

Содержание

Формулы для пирамиды:

• V= S осн.* h
• S полн. =S осн. +S бок.
• S бок. = P осн.* L

Где L-апофема.

• Если в основании лежит правильный треугольник или шестиугольник то:
• S треуг. = а 2 √3
• S 6-угол. = а 2 √3 или R 2 √3

Содержание

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

S

S пов-ти. =S осн. + S бок.

S бок. = PL

Проведем апофему L

S осн. =

Найдем периметр основания

P=

L=

S бок. = = 240

S осн. = = 100

S пов-ти. = 100+240=340

13

D

C

K

A

B

10

B:

3

4

0

Содержание

S

V= S осн.* h

Проведем высоту и соединим ее с одним из углов основания. Получили прямоугольный треугольник SOD, где OD- радиус описанной окружности.

а 6 =R OD= 2

SO=

S осн. = а 2 √3

S осн. =

V= = 12

  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

4

F

E

A

O

D

2

B

C

B:

1

2

Содержание

  Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна √3

V= S осн.* h

S треуг. =

V= =0,25

S треуг. = а 2 √3

√ 3

O

1

B:

0

,

2

5

Содержание

Тренировочные задачи:

• Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

S

E

F

A

D

B

C

B:

3

6

0

Содержание

• Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

B:

4

Содержание

Формулы для решения задач с призмами

V куб = a 3 V=S осн h

S куб = 6a 2 S= 2ab+2bc+2ac

S бок. = n S гр.

S полн. = 2S осн. + S бок.

Содержание

Объем куба равен 8. Найдите площадь

его поверхности.

Решение:

• V куба = a 3 a=2
• S полн.пов-ти = 6a 2 =24

В

2

4

Содержание

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Решение:

1. S = 2ab+2bc+2ac

16 = 4+4x+2x

x = 2

2.

d = 3

d

1

Х

2

В

3

Содержание

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение:

S = 2ab+2bc+2ac

94= 24+6x+8x

x=5

3

Х

4

В

5

Содержание

.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота – 10.

В

3

0

0

Содержание

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

d

В

3

Содержание

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 7.

В

1

2

6

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке

(все двугранные углы многогранника прямые).

1

4-2=2

1

1

В

1

8

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

V = a*b*c

Vкр. = 1 * 4 * 7

Vсин. = 1 * 2 * 1

Vиск. = Vкр.- Vсин.

Vиск. = …

В

2

6

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

V = a * b * c

Vкр. = 5 * 2 * 1

Vсин. = 2 * 2 * 1

Vиск. = Vкр. + Vсин.

Vиск. = …

2

1

В

1

4

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

V кр. = 5 * 2 *3

V син. = 5 * 3 * 3

V зел. = 2 * 3 *2

V иск= V кр. + V син. + V зел.

V иск. = …

3

2

3

6-3=3

5

7-5=2

В

8

7

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

4

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

1

5

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

S = 2ab + 2bc + 2ac

1) S1 = 2*5*1 + 2*2*1 + 2*5*2

2) S2 = 2*5*2 + 2*5*3 + 2*3*2

3) S1 + S2

4)Вычтем 2S общей стороны параллелепипедов, т.к. её S была посчитана дважды( в том и другом параллелепипеде).

2S = 2*5*2

S 2

S 1

В

7

6

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Т.к. образовавшиеся грани будут равны граням «вырезанной» фигуры, S параллелепипеда не изменится.

S = 2*5*3 + 2*5*5 + 2*3*5

В

1

1

0

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

1)S1 = 2*5*7 + 2*5*1 + 2*7*1

2)S2 = 2*2*1 + 2*1*1 + 2*1*2

3)S3 = S1 + S2

4) S3 – 4(2*1), где 4(2*1)- площади передней грани маленького параллелепипеда, ранее учтенной при расчете S1 и S2.

В

9

6

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

5

8

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

9

4

Содержание

Фигура внутри фигуры

V призмы = Sh V пирамиды = 1/3 Sh S паралеллограмма = ah где а – сторона, h – высота, проведённая к ней

Содержание

Объем параллелепипеда  ABCDA1B1C1D1 равен 5,1. Найдите объем треугольной пирамиды ABCB1.

Решение: V параллелепипеда = Sh , где S – площадь основания. V пирамиды = 1/3 Sh , где S - площадь основания пирамиды, равная половине площади основания параллелепипеда. Следовательно, V (ABCB1) = 1/3 V (ABCDA1B1C1D1) * 1/2 = 5,1 * 1/6= 0,85

В

0

,

8

5

Содержание

Объем параллелепипеда   ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA1.

S параллелепипеда = Sh S пирамиды = 1/3 Sh S (ABD) = 1/2 S (ABCD)

В

1

,

5

Содержание

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.

Решение: V пирамиды = 1/3 Sh = 1/3 V куба Поскольку вершина пирамиды лежит в центре куба (т. е. на середине его высоты), то к коэффициенту нужно добавить 1/2. Получим V пирамиды = 1/3 V куба * 1/2 = 12 * 1/6 = 2

В

2

Содержание

Объем куба равен 36 . Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - точка, которая делит высоту, проходящую через центр, в отношении 1:2 от нижнего основания.

S пирамиды = 1/3 Sh h = 1/3H

В

11

4

Содержание

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

• Объем куба с ребром  a  равен 

• Если ребра увеличить в  3  раза, то объем куба увеличится в  3 3 =27  раз. 

V=a 3

B11:

2

7

Содержание

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

80

х

а

4а

В

5

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличены в 2 раза, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Содержание

B:

4

Тренировочные задачи:

Во сколько раз уменьшится площадь поверхности куба, если его ребро уменьшить в 2 раза?

Содержание

B:

4

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 63 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

В

7

Содержание