Египетский треугольник

Пифагор

Египетский треугольник

Сделал ученик 10 «А» класса

Алёхин Александр

Учитель Сотникова М.И.

содержание

• Немного о Пифагоре

• Задачи

• продолжение
• продолжение

• Задача №1 Задача №2 Задача №3
• Задача №1
• Задача №2
• Задача №3

• Египетский треугольник

• Название Сведения
• Название
• Сведения

Немного о Пифагоре

• Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермо­даманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников ,

Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

Египетский треугольник

• Египетский треугольник - это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины.

Название

• Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины. В VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет - и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к формулировке и доказательству его знаменитой теоремы

Сведения

• Применялся египетский треугольник в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами. Сведения, которыми мы располагаем о древнем Египте, получены в весьма значительной степени из ознакомления с множеством рельефных изображений. Эти рельефы в изобилии покрывали стены и колонны древних гробниц и храмов. Они относятся ко всем периодам истории Египта: Древнему, Среднему и Новому Царствам, встречаются также и в позднее время. Они обладают качеством стойкой стилистической формы и в египетском искусстве занимают весьма важное место. Смысл множества рельефных изображений заключается, прежде всего, в их "информативности", или повествовательности, что играло большую роль, имея в виду особенности погребального и религиозного культа. Это было пиктографическое письмо очень высоких достоинств.

Задача №1

• Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120º.
• Для начала проведем высоту этого треугольника к основанию. Видно, что треугольник разделился на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузами, равными боковой стороне равнобедренного. Т.к. угол против основания равен 120º, то углы при основании равны по 30º. Следовательно высота равна половине боковой стороны. Отметим высоту за x, а боковую сторону за 2x.

• Т.к. высота равнобедренного треугольника, проведенная к основани. является также медианой и биссектрисой, то второй катет прямоугольного треугольника равен 9 см. Составим уравнение :

x2 + 81 = 4x2

3x2 = 81

x2 = 27

x = 3√3 см

2х = 6√3 см .

Значит, боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6√3 см. Задача решена .

Задача №2

• Одна из диагоналей параллелограмма является высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.
• Для того, чтобы решить эту задачу, отметим меньшую сторону параллелограмма за a = x, а большую - за b = x + 1. Так как периметр равен сумме всех сторон, то получаем:

• Значит, сторона a равна 13 см, а сторона b равна 12 см.Теперь, т.к. диагональ является также и высотой, рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Требуется найти катет по гипотенузе и другому катету:

P = 2(2x + 1) = 50

4x + 2 = 50

4x = 48

x = 12, а x + 1 = 13.

132 = 122 + h2

h2 = 132 - 122

h = 5 см.

Итак, задача решена!

Задача №3

В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 17 см, а длина гипотенузы 13 см. Найти катеты a, b и площадь S треугольника .

Отметим один из катетов за x, а другой - за 17 - х. По теореме Пифагора получаем:

x2 + x2 - 34x + 289 = 169

2x2 - 34x + 120 = 0

x2 - 17x + 60 = 0

x = 12 или x = 5.

Значит, один из катетов равен 12, а другой - 5. Площадь треугольника равна:

S = ab/2 = 30.

Задача решена!