Математика. Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один из углов прямой (90 градусов).

Если длины всех трех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то такой треугольник называют Пифагоровым треугольником, а длины сторон образуют пифагорову тройку.

Самый древний из известных Пифагоровых треугольников - Египетский треугольник, соотношение длин сторон которого 3:4:5.  На рисунке (рис. 1) представлен один из вариантов построения правильного треугольника, при помощи "Весики писцис".

Элементы прямоугольного треугольника.

Вершина треугольника - точка, в которой сходятся две стороны треугольника. На рис.1 вершины обозначены точками и буквами А,В,С. Сторона треугольника - отрезок соединяющий две вершины треугольника.  На рис.1 стороны треугольника обозначены отрезками АВ, ВС, АС.

Стороны прямоугольного треугольника имеют свои названия. Гипотенуза - сторона прямоугольного треугольника, которая противоположна прямому углу. На рисунке (рис. 1) гипотенуза обозначена как AB. Катеты - стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол.   На рисунке (рис. 1) катеты - AC и BC.

Медиана прямоугольного треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы. На рисунке (рис. 2) середины сторон обозначены буквами D,E,F, следовательно медианы - BD, AE, CF.

Биссектриса - луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла. На рисунке (рис. 3) биссектрисы - BD, AE, CF. 

Высота прямоугольного треугольника - перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или прямую, совпадающую с противоположной стороной, то есть в прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг другу. На рисунке (рис. 4) высоты - AB, CB, BD.

Центроид треугольника - точка пересечения медиан в треугольнике. На рисунке (рис. 5) центроид - точка О.

Ортоцентр прямоугольного треугольника - точка пересечения высот треугольника или их продолжений, высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла. На рисунке (рис. 6) ортоцентр - точка A.

Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис треугольника.  На рисунке (рис. 7) центр вписанной окружности - точка О.

Центр описанной окружности треугольника - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы. На рисунке (рис. 8) центр описанной окружности - точка О.

Свойства прямоугольного треугольника.

1. Один из углов в прямоугольно треугольнике прямой (равен 90 градусам), остальные углы острые.

2. Сумма двух острых углов, в прямоугольном треугольнике, равна 90 градусам.

3. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4.  В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

5. Косинус любого из острых углов меньше единицы.

6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

7. Высота прямоугольного треугольника равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

8. Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности или радиус описанной окружности, прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.

9. Центр описанной окружности, в прямоугольном треугольнике - середина гипотенузы.

10. Катет, противолежащий углу в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

11. Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла (к гипотенузе), равна половине гипотенузы.

12. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырех радиусов описанной окружностей.