Исследовательская работа: Быстрый счет.

Амира Будаева, ученица 6 «в» класса РБНЛИ-И №1

Руководитель: Дашеева Софья Санжиевна,

учитель математики РБНЛИ-И №1 …

Быстрый счет

Может ли помочь быстрый счет в повседневной жизни? 

Актуальность. На протяжении всей своей жизни люди сталкиваются с числами и выполняют арифметические действия. Быстрый счет помогает людям в повседневной жизни, а ученикам – на «отлично» заниматься по математике. 

Цель исследования: Изучить методы и приемы быстрого счета и доказать необходимость умения быстрого счета и эффективного использования этих приемов.

Задачи исследования: Изучить источники, в которых встречаются различные приемы быстрого счета; систематизировать изученный материал, выбрать самые интересные и доступные устные приемы быстрого счета; изучить письменные приемы быстрого счета, которые можно использовать, упрощая вычисления.

Методы исследования: Изучение специальной литературы; практическое применение в работе; анализ полученных данных.

Краткий обзор используемой литературы и источников.

В экспериментальном учебнике по математике (Клейменичева Е.В., Филатов Е.Н. Математика. 5. Экспериментальный учебник. Часть 1. – М.: АНО ЗФМЛ «Авангард», 2012. – 224 с.) представлены 13 параграфов, один из которых посвящён приёмам быстрого счёта. В данном параграфе описываются приёмы быстрого счёта при сложении, при вычитании, при умножении, при делении, три математических фокуса (так их называют авторы книги), в которых используются приёмы быстрого счёта при умножении чисел, у которых число десятков одинаковое, а сумма единиц равна 10 (фокус № 1), двух чисел, немного меньших 100 или 1000 (фокус № 2), трёхзначных чисел (фокус № 3).

В краткой аннотации к учебнику авторы указывают, что учебник предназначен для углублённого изучения математики в 5-м классе. Главная цель учебника – научить учащихся самостоятельно решать задачи, поэтому большое количество задач предлагается для самостоятельного решения. Все задачи условно разбиты на пять категорий сложности. К большинству задач приведены «подсказки» – краткие рекомендации к их решению и ответы.

В научно-популярной книге (Пшеничная Л. А. Считай быстрее компьютера. – Новосибирск: Изд. Центр «Автор», 1994. – 84 с.) представлены различные приёмы быстрого счёта, перемножение трехзначного и двузначного чисел, перемножение многозначных чётных чисел, деление чисел на 4 и 8, быстрое возведение в квадрат, деление чисел на 2 и 5, приём нахождения среднего арифметического двузначных чисел и др. В книге автор приводит большое число арифметических курьёзов. Интересны приведённые в книге игры, например, игры «Кто быстрее догонит самолёт?», «Кто больше поймает шаров?», «Кто скорее?»: задачи, например, задача «Озадаченный шофёр». Интерес вызывают у читателя и числа – палиндромы, например, число 6886. Автор предлагает выполнить с числом 6886 сложение двух чисел, а затем перевернуть полученную сумму. В книге описан «русский» способ умножения. Это способ перемножения чисел без знания таблицы умножения, приведённый в старинной «Арифметике» Магницкого. Как отмечает автор, данный способ перемножения употребителен был в русском народном обиходе и унаследован с глубокой древности.

Способы быстрого счета

Сложение

1.Двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Пример: 54+39=54+40-1=93

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем единицы.

Пример: 57+32=57+30+2=89

2.Трехзначные числа

Чтобы сложить трехзначные число надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример: 249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Вычитание

1. Особенности вычитания

Приведение к круглым числам. Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры: 67-9=67-10+1=58; 576-88=576-100+12=488

2. Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример: 843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247

Умножение и деление

Умножение и деление на 4, 6, 8, 9

Для умножения и деления двух и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

• умножить на 4 – это дважды умножить на 2;

• умножить на 6 – это значит умножить на 2, а потом на 3;

• умножить на 8 – это трижды умножить на 2;

• умножить на 9 – это дважды умножить на 3.

Пример: 37˟4=(37˟2)˟2=74˟2=148

Аналогично:

• разделить на 4 – это дважды разделить на 2;

• разделить на 6 – это сначала разделить на 2, а потом на 3;

• разделить на 8 – это трижды разделить на 2;

• разделить на 9 – это дважды разделить на 3.

Пример: 412:4=(412:2):2=206:2=103

  Умножение и деление на 5

Число 5 – это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.

Пример: 326˟5=(326˟10):2=3260:2=1630

Помимо этого есть еще одно правило, легче этого. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.

Пример: 326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Умножение на 25

Заметим, что 100=25x4, поэтому для любого числа а справедливо: ах100= ах25х4. То есть умножить на 100 – все равно, что сначала умножить на 25, а потом умножить на 4. Если мы сначала умножим число на 100, а потом разделим на 4, то получится вот что: а х100:4=ах25х4:4=ах25. Значит ах25=ах100:4. Отсюда следует правило: Чтобы умножить число на 25, достаточно умножить его на 100, а потом разделить на 4.

Умножение на125

Заметим, что 1000=125х8, поэтому для любого натурального числа а справедливо равенство: ах1000=ах125х8. То есть умножить на 1000 – все равно, что сначала умножить на 125, а потом умножить на 8. Значит ах125=ах*1000:8. Отсюда следует правило: чтобы умножить число на 125, достаточно умножить его на 1000, а потом разделить на 8.

 Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число.

Пример: 37˟9=37˟10 - 37=370-37=333

Умножение на 99

Пусть некоторое число N надо умножить на 99. Представим это умножение так: Nx99=Nx(100-1)=Nx100-Nx1=Nx100-N. Приведём пример: 57х*99=? 57х99=57х(100-1)=57х100-57х1=57х100-57=5700-57=5643

Умножение на  999

Первая половина: это трёхзначное число, уменьшенное на единицу. Вторая часть: результат вычитания трёхзначного числа из 999. Приведем пример:

1) 263х999=?; 263-1=262 – это первая часть; 999-262=737 – это вторая часть; 263х999 При умножении 999 на трёхзначное число получается результат, состоящих из двух половин=262737.

Умножение на 11

Складываем две цифры двузначного числа. Помещаем результат между двумя числами двузначного числа

Примеры: 53˟11=583; 5+3=8

59˟11=649; 5+9=14. Перекидываем единицу налево, если сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9; 5 + 1 = 6 

На первый символ мы единицу уже перекинули, получили 6. Далее у нас осталась 4, которую ставим в центр, и дописываем 9; 649

 Умножение на 111, 1111

Опять мысленно раздвигаем цифры первого сомножителя 42 (4…2), предварительно найдя сумму цифр первого сомножителя (4+2=6), и вставляем полученную сумму, повторяем эту операцию дважды: 4…2=4662; 42х11=4662. При умножении двузначного числа на 1111 действует тоже правило, только сумма вставляется не 2, а 3 раза.

Пример: 31х1111; 3…1 (3+1=4); 31х1111=34441.

Умножение на 1001

С виду это обыкновенное число. Оно даже не относится к так называемым «простым» числам. Приведём пример: 245х1001=245245. Если любое трёхзначное число повторить дважды, то получается шестизначное число, состоящее из трёх повторяющихся цифр. Пользуясь указанным способом, можно достичь результатов совсем неожиданных, кажущихся волшебными, по крайней мере, человеку неподготовленному. Например: 456х1001=456456; 539х1001=539539

Быстрое возведение в квадрат

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

85˟85=7225
 Шаг 1. Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу:

8˟ (8 + 1) = 72

Шаг 2. Дописываем к получившемуся результату 25; 7225

45˟45=2025
 Шаг 1 — 4˟(4+1) =20

Шаг 2 — 2025

Метод корневых сумм

Допустим, нам надо быстро выполнить сложение: 30+31+31+32+33, а калькулятора у нас «под рукой» нет и бумаги с ручкой тоже. Как быть?

Попробуем представить сумму так: 30+31+31+32+33 = (30+0) + (30+1) + (30+1) + (30+2) + (30+3) = (30+30+30+30+30) + (0+1+1+2+3) = 30x5+7 = 150+7 = 157.

Такой метод быстрого сложения называется методом корневых сумм. Суть этого метода в следующем. Если все слагаемые близки к какому-то круглому числу (в нашем случае к 30), то каждое слагаемое мы представляем в виде суммы корня и дополнения. Например: 31 = 30+1. Здесь 30 – это корень, а 1 – дополнение. Потом мы отдельно складываем все корни и отдельно – все дополнения. А потом складываем две полученные суммы. Получается легко и быстро!

Метод дополнения одного из слагаемых до круглого числа

Рассмотрим такой пример: 799+195. Заметим, что 799 очень близко к «круглому» числу 800: 799=800-1. Теперь запишем пример в следующем виде: 799+195 = (800-1)+195 = (800+195)-1. Выражение в скобках вычислить очень легко: 800+195=995, осталось вычесть единицу: 995-1=994. Ответ получен: 994. Можно было дополнить до «круглого» числа второе слагаемое 195: 195=200-5. Тогда: 799+195 = 799+(200-5) = (799+200)-5 = 999-5 = 994.

Метод дополнения вычитаемого до круглого числа 

Например, надо быстро вычислить «в уме»: 759-397. Надо дополнить до «круглого» числа вычитаемое, т.е. 397. Представим число 397 в виде: 397=400-3. Теперь вычтем из 759 «круглое» число 400. а потом к результату прибавим 3. Получим: 759-400=359; 359+3=362. Можно ещё действовать и так: прибавим к каждому из чисел по тройке, а потом произведем вычитание, получим: 759-397=(759+3)-(397+3)=762-400=362. Различие этих двух методов состоит только в последовательности действий.

 Умножение двузначных чисел

Быстро умножить двузначные числа можно, если сомножители обладают двумя особенностями: 1) число десятков должно быть одинаковым, 2) сумма единиц должна быть равна 10. Приведём пример: 23х27=? Умножим число десятков (2) на число, на единицу большее (3), получим: 2х3=6, перемножим единицы: 3х7=21. Далее запишем два полученных числа (6 и 21) подряд: 621. Это и есть произведение: 23х27=621.

Перемножение двух чисел, немного меньших 100

Быстрое перемножение двух чисел, немного меньших 100, можно рассмотреть на следующем примере: 94х98=? Назовём дополнением сомножителя до сотни число, которое надо прибавить к сомножителю, чтобы получить 100. Например, 94+6=100, значит, 6 – дополнение сомножителя 94 до 100; 98+2=100, значит 2 – дополнение сомножителя 98 до 100. Для наглядности запишем это в виде таблицы:

Далее сделаем следующее: Вычтем из первого сомножителя (94) дополнение до 100 второго сомножителя (2), получим: 94–2=92. Далее перемножим дополнения сомножителей до 100: 6х2=12. Запишем подряд два полученных числа: 9212. Это число и будет произведением: 94х98=9212.

 Деление на 5

Быстро разделить число на 5 можно так: сначала умножить на 2, а потом разделить на 10. Например: 125:5=(125x2):10=250:10=25.Если число делится на 10, то есть оканчивается нулем, то лучше сначала разделить на 10, а потом умножить на 2. Например: 120:5=(120:10)х2=12x2=24.

Деление на 25

Быстро разделить число на 25 можно так: сначала умножить на 4, а потом разделить на 100. Например: 225:25=(225х4):100=900:100=9. Если число делится на 100 (такое число оканчивается двумя нулями), то лучше сначала разделить на 100, а потом умножить на 4. Например: 2200:25=(2200:100)х4= =22x4=88

Деление на 125

Быстро разделить число на 125 можно так: сначала умножить на 8, а потом разделить на 1000.

Например: 8125:125 = (8125х8):1000 = (8000+125)х8 :    1000 = (8000х8 + 125х8) : 1000 = (64000+1000):1000 = 65000:1000 = 65. Если число делится на 1000 (такое число оканчивается тремя нулями), то лучше сначала разделить его на 100, а затем умножить на 8. Например: 11000:125 = 11000:1000 х 8=11 х 8 = 88.

  Деление на 9

Например, надо разделить 567:9. Попробуем представить число 567 в виде произведения: 567=Nх9, где N – неизвестное число, которое нам предстоит найти. Если нам удастся найти такое число, то можно считать, что задача решена!

Быстро разделить число на 9 можно так: представим 567 в следующем виде: 567=560+7=56x10+7=56х(9+1)+7=56x9+56x1+7=56х9+(56+7)=56x9+63. Теперь вспомним таблицу умножения: 63=7x9, с учетом этого получим: 56x9+63=56x9+7x9=(56+7)х9=63x9 (мы воспользовались распределительным законом умножения). Выполним деление: 567:9=(63х9):9=63.

 Деление на 99

 Например, нужно разделить число 4455 на 99. Быстро разделить число на 99 можно так: представим число 4455 в виде произведения: 4455=Nх99. Как только найдем число N, задача решена!

Быстро разделить число на 99 можно так: 4455 = 4400+55 = 44х100 + 55 = 44 х (99+1) + 55 = 44x99+44x1+55 = 44х99+(44+55) = 44x99+99=(44+1)х99 = 45х99. Теперь выполняем деление: 4455:99=(45х99):99=45.

  Деление на 999

Нужно быстро разделить число 16983 на 999. Быстро разделить число на 999 можно так: представляем число 16983 в виде: 16983 = Nx999. 16983 = 16000+983 = 16x1000+983 = 16х(999+1)+983 = 16x999+16x1+983 = 16х999+(16+983) = 16x999+999 = (16+1)х999 = 17x999. Выполняем деление: 16983:999 = (17х999):999=17.

Другой способ быстрого деления на 999 такой: возьмём первую часть (разряд сотен тысяч, десятков тысяч и тысяч), прибавим к ней 1, тогда получится частное число и 999. Пример: 363635:999=?; 363+1=364; 363635:999=364.

Деление на 101

Выполним деление числа на 101. Например, разделим 97465:101. Представим делимое (число 97465) в следующем виде: 97465=97400+65 = 974x100+65 = 974х(101-1)+65 = 974x101-974x1+65 = 974x101-974+65. Заметим, что вычесть 974, а потом прибавить 65 – это все равно, что вычесть число, на 65 меньшее, чем 974, то есть число (974-65)=909. Заметим, что 909=9x101. Продолжим преобразования: 974x101-974+65 = 974x101-909 = 974x101-9x101 = =(974-9)х101=965x101. Выполним деление: 97465:101=(965х101):101=965.

 Деление на 1001

Выполним деление числа на 1001. Например, разделим 7 901 894:1001. Преобразуем делимое следующим образом: 7 901 894 =7 901 000+894 = 7901x1000 +894 = 7901х(1001-1)+894 = 7901x1001-7901x1+894 = 7901x1001-(7901-894) = 7901x1001-7007. Заметим, что 7007=7х1001, тогда 7901x1001-7007 = 7901х1001-7x1001 = (7901-7)х1001 = 7894x1001. Выполним деление: 7 901 894:1001=(7894х 1001):1001=7894. 

В математике известно достаточно большое число приёмов быстрого счёта. Это приёмы, применяемые при сложении, вычитании, делении, умножении чисел. При сложении используют метод корневых сумм, метод дополнения одного из слагаемых до круглого числа. При вычитании применяют метод дополнения одного из вычитаемых до круглого числа. При умножении используют замечательные свойства чисел, оканчивающихся на 5, свойства чисел, кратных 11, свойства чисел, кратных 9, свойства чисел, возводимых в квадрат. При делении пользуются замечательными свойствами чисел, оканчивающихся на 5, свойствами чисел при делении на 101, 1001.

На основе анализа литературы из достаточно большого количества приёмов быстрого счёта отобрала те, которые используются при выполнении четырёх математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление); указаны свойства чисел, которые используются при быстром счёте (числа, кратные 5, 9, 11 и т. п.). В работе рассмотрела примеры различных приёмов быстрого счёта.

С некоторыми приёмами быстрого счёта я была знакома с начальной школы, но взглянуть на них по-новому, как на своих помощников при счёте, я смогла только при выполнении этой работы.

Некоторые способы вычислений кажутся сложными, но выполняя их многократно, легко запомнить и применять при решении примеров. Мои одноклассники после представления мною результатов исследования заинтересовались приёмами быстрого счёта и начали использовать их. Способы умножения на 5, 11, 25, 125, 15 показались всем достаточно легкими и интересными. В  7 классе я хочу продолжить это исследование и овладеть и другими методами и приемами вычислений.

За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. Словосочетания «умножение решёткой», «шахматный способ», «русский крестьянский способ» заинтриговали меня. Захотелось узнать эти и другие способы вычислений и сравнить их с сегодняшними.

Несомненно, умение быстро и правильно считать пригодится нам на экзаменах, да и в повседневной жизни.

Литература

1. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки / Под ред. М.К. Потапова. – 2-е изд. – М.: Наука, 1979. – 208 с.

2. Клейменичева Е.В., Филатов Е.Н. Математика-5. Экспериментальный учебник. Часть 1. – М.: АНО ЗФМЛ «Авангард», 2012. – 224 с.

3. Кордемский Б. А. Математическая смекалка. – 8-е изд. – М.: Наука, 1965. – 566 с.

4. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка: пособие для уч-ся. – 4-е изд, -М.: Просвещение, 1984. – 160 с.

.5. Пшеничная Л. А. Считай быстрее компьютера. – Новосибирск: Изд. Центр «Автор», 1994. – 84 с.