Исследовательская работа "Лист Мёбиуса"

Лист Мёбиуса

Содержание

• I.Введение ………………………………………………………………….4

• II.Лист Мёбиуса………………………………………………………….…5

• 1.Немного истории…………………………………………………………5

• 2.Лист Мёбиуса. Свойства листа Мёбиуса…….………………….…….10

• 3.Эксперименты «Сюрпризы листа Мёбиуса»………………………….13

• 4.Практическое применение листа Мёбиуса……………………………18

• III.Заключение…………………………………………………………….23

• Источники………………………………………………………………..24

Цель работы: проверить удивительные свойства листа Мёбиуса.

Задачи:

- узнать историю возникновения листа Мёбиуса;

- провести опрос одноклассников, знакомых;

- узнать свойства листа Мёбиуса и проверить их на практике;

- изучить практическое применение листа.

Актуальность. Заключается в том , что Лист Мёбиуса используется в

жизни.

Методы исследования:

• Анализ литературы

• Опрос

• Анкетирование

• Наблюдение

• Анализ результатов

• Практический эксперимент.

I.Введение

Для большинства людей математика является трудной, непонятной, либо неинтересной. Педагог и писатель Василий Александрович Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». «Мышление начинается с удивления»,- писал Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления. Я хочу показать, что математика полна неожиданностей, на примере открытия Августа Фердинанда Мёбиуса: его знаменитого бумажного кольца с сюрпризами.

Но, нужно отметить, что исследование «Листа Мёбиуса», лишь слегка приоткрывает занавес, за которым скрывается изумительно красивый мир науки.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стола, стула, известны всем. У каждой этой поверхности две стороны. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? А вот и может: лист Мёбиуса – это модель односторонней поверхности.

Благодаря стараниям изобретателей, нашедших в свойствах листа Мёбиуса неисчерпаемый источник оригинальных технических решений, она давно перестала быть только математическим курьезом.

II. Лист Мёбиуса.

1.Немного истории.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: «лента Мёбиуса») придумал немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус.

Август Фердинанд Мёбиус родился 17 ноября 1790 в Шульпфорте, ныне Саксония (Германия). Отец будущего ученого работал преподавателем танцев, а потому проживал в комнатах для преподавателей с женой и ребенком. Маленький Август плохо запомнил отца, ведь тот умер, когда ребенку не было еще и трех лет. Поэтому все начальное воспитание дала ему мать. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу выказал интерес к математике.

С 1803 по 1809 годы учился в гимназии-интернате Шульпфорта, затем поступил в Лейпцигский университет на факультет права в соответствии с рекомендациями семьи. Проучившись полгода, он пришел к выводу, что быть правоведом — не его призвание, а потому перешел к изучению астрономии и математики.

С 1816 года он работал сначала астрономом-наблюдателем. Позже его пригласили преподавателем астрономии в Лейпцигский университет. Ему дали звание экстраординарного профессора (несмотря на пышное название — это низшая степень, присваиваемая новичкам). На этом его карьерный рост надолго остановился. Причиной тому было полное неумение выставить себя в выгодном свете, заручиться поддержкой коллег или студентов. Он был очень спокойным и сдержанным человеком, лекции его не отличались театральностью, а потому на них приходило немного студентов. Все просто: чем меньше студентов, вносящих оплату за курс, тем меньше жалование и хуже отношение начальства.

Все это время Август Мебиус живет вместе с матерью, но в 1820 г. она умирает. Возможно, именно неустроенный быт заставляет его решиться на женитьбу.

В области астрономии Мёбиус опубликовал несколько значительных работ по небесной механике, о принципах астрономии и о планетных затмениях; среди них наибольшую известность получило сочинение «Элементы небесной механики» (1843).

Таким образом, Мёбиус был первоначально астрономом. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений.

И лишь позже он становится известен как талантливый математик. Мёбиус становится автором большого количества первоклассных работ по математике. Возможно, имя этого человека за 230 лет растворилось в истории ,если бы не одно ненастное утро…

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мёбиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мёбиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!».

Именно такова легенда открытия листа Мёбиуса.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Вот так Мёбиус стал одним из известнейших математиков XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать удивительное открытие.

В 1858 году профессор Лейпцигского университета, астроном и геометр Август Мёбиус послал в Парижскую Академию Наук научную работу, содержавшую сведения об этом необычном листе и его свойствах. Целых семь лет он дожидался её рассмотрения, а, не дождавшись, опубликовал в печати и стал знаменитым!

Лента Мёбиуса сразу же привлекла внимание, как математиков, так и любителей всего занимательного.

Но, справедливости ради стоит отметить, что в истории нередко бывают случаи, когда одна идея приходит в головы одновременно нескольким изобретателям. Так случилось и с лентой Мебиуса. В том же 1858 году идея ленты пришла и к другому ученому - Иоганну Листингу.

П ри подготовке работы я провела анкетирование одноклассников с целью выявления их интереса по теме исследовательской работы. Всего было опрошено 20 человек. Был задан вопрос: «Знаете ли Вы что такое лист Мёбиуса?» К сожалению, никто из учащихся не слышал о таком явлении.

Т акой же вопрос я задала знакомым взрослым (бабушкам, дедушкам, родителям и т.д.). Всего было опрошено 12 человек. Лишь моя бабушка сказала, что помнит, что такое лист Мёбиуса из школьного курса геометрии.

П осле этого я рассказала опрошенным, что лист Мёбиуса – это простейшая односторонняя поверхность, имеющая один край и спросила «Как вы считаете, смогли бы вы изготовить лист Мёбиуса (то есть одностороннюю поверхность и одним краем) из полоски бумаги, имеющую две стороны и четыре края, самостоятельно?» 14 человек из класса ответили, что скорее всего смогут.

Из взрослых лишь 2 человека ответили, что могли бы попробовать изготовить его.

Таким образом, результаты анкетирования показали, что почти никто из опрошенных понятия не имеет, что такое лист Мёбиуса. Вместе с тем почти все опрошенные школьники предположили, что смогут изготовить его, взрослые, наоборот, были не уверены в своих силах.

2. Лист Мёбиуса. Свойства листа Мёбиуса.

Так вот, несмотря на такое удивительное и непонятное название лист Мёбиуса может сделать каждый. Даже моя сестра, которой 4 года без труда сделала этот лист. Надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180 градусов . И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса.

Свойства листа Мёбиуса.

1). Лист Мебиуса – односторонняя поверхность.

Односторонность означает, что из любой точки поверхности можно попасть в любую другую не пересекая край.

Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: если постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, то по завершении работы, можно обнаружить, что весь он полностью окрашен.

«Если кто-нибудь попробует раскрасить «только одну» сторону поверхности ленты Мёбиуса, пусть лучше сразу погрузит её всю в ведро с краской»,— пишут Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходной книге «Что такое математика».

Из этого свойства следует еще одна неожиданность: граница у листа Мёбиуса одна, а не состоит из двух частей, как у обычного кольца.

2). Лист Мебиуса – неориентированная поверхность.

Если бы муравей прошёл в листе Мёбиуса, то когда он вернулся в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.

Либо еще, вообразите, что в листе Мёбиуса заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – несимметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в начальную точку, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё это случится только, если они живут в листе, а не на нём они живут в листе, а не на нём.

3). Другое свойство – непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом не придётся переходить через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная.

4). Еще одно интересное свойство – связность. Если квадрат разрезать бритвой от стороны к стороне, то он распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой математик скажет вам, что квадрат – односвязен, кольцо - двусвязно, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Ну, а лист Мёбиуса? Конечно двусвязен.

5). «Хроматический номер». Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

3.Эксперименты «Сюрпризы листа Мёбиуса».

Физики, утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой, зеркального своего двойника!

Для того, чтобы лучше понять некоторые свойства листа Мёбиуса я провела несколько экспериментов

Больше всего мне понравилось работать с лентами, у которых длина примерно в 4 раза больше ширины. При разрезании листов Мёбиуса, склеенных из более узких лент, получатся слишком тонкие «кольца». Из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но нельзя недооценивать тот факт, что ограничения на размер имеют значения в том случае, когда бумагу запрещается мять.

Если же мять бумагу не запрещается, то лист Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее не склеиваемых. Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его чётное количество раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим лист Мёбиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Из рисунка видно, что лист бумаги, из которого склеен лист Мёбиуса, оказался смятым.

Итак, для работы мне понадобилось несколько лент, клей и ножницы.

Опыт № 1

1. Что получится, если начать закрашивать лист Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край, какая часть ленты окажется закрашенной?

Чтобы выяснить этот вопрос я постепенно окрашивала его в цвет, начиная с любого места. (для ускорения результата можно из любой точки середины листа провести линию вдоль - вы вернетесь в первоначальную точку не пересекая краев листа).

Результат окрашивания – весь лист полностью окрашен.

Это подтверждение того, что лист Мёбиуса односторонняя поверхность.

Чтобы доказать, что граница у листа Мёбиуса одна, нужно близко к одному из краев листа начать вести линию. Вы вернетесь в исходную точку , не отрывая руки!

Опыт № 2.

2. Что произойдёт с обычным кольцом, если его разрезать вдоль посередине? И что произойдет с если лист Мёбиуса разрезать вдоль

посередине (то есть на 2 полоски)?

В результате разрезания кольца посередине, получилось два отдельных более тонких, в сравнении с исходным, кольца, такого же диаметра, и в этом нет ничего удивительного.

Результат разрезания листа Мёбиуса посередине – одно кольцо. Неожиданный результат! Вместо того чтобы развалиться на два куска, лента разворачивается в длинную связанную замкнутую полоску.

Свойства – кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но в два раза уже.

Опыт № 3

3. Интересно, изменится ли что-то, если лист Мёбиуса разрезать вдоль не посередине, а ближе к одному краю, примерно на одну треть ширины?

В результате разрезания кольца получается не одно, а два кольца, сцепленных друг с другом. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. И снова удивительный результат!

Опыт № 4

4. Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим две ленты с двумя полуоборотами.

Опыт № 5

5. Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем ровно посередине. Вы поразитесь тому, что получится, если разрезать двойное кольцо. Получилась квадратная рамка!

Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиуса.

В результате опытов мы убедились в том, что лист Мёбиуса обладает такими свойствами как односторонность, непрерывность, связность.

В силу своих необычных свойств лента Мёбиуса широко используется на протяжении многих лет фокусниками. Я хочу рассказать о самых простых и вместе с тем удивительных фокусов.

1. Фокус с завязыванием узлов.

Можно ли завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Нужно положить шарф на стол. Скрестить руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нужно нагнуться к столу и взять поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что руки фокусника, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде «трехлистного» узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

2. Фокус с выворачиванием жилета наизнанку, не снимая с человека.

Чтобы воплотить этот фокус владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. Тот же самый эксперимент можно провести и не расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними сантиметров 40, чтобы обеспечить свободу движений, и руки сцепить впереди.

Есть еще множество удивительных фокусов в которых используется свойство листа Мёбиуса.

4.Практическое применение листа Мёбиуса.

Лист Мёбиуса можно было бы считать научным курьёзом, очередной причудой математиков, если бы она не нашла практического применения и не вдохновляла людей искусства. Её не раз изображали художники, ей ставили памятники скульпторы и посвящали свои творения писатели и поэты.

Лист Мебиуса – символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,

Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперед и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары…

(Н.Ю. Иванова)

Эта необычная поверхность приглянулась архитекторам, дизайнерам, ювелирам и даже изготовителям одежды и мебели. На неё обратили внимание изобретатели, конструкторы, инженеры. Кроме того, есть интересные архитектурные проекты зданий, выполненные «в стиле ленты Мёбиуса».

Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. Лист Мёбиуса встречается, например, в рассказе Артура Кларка «Стена мрака». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра «Горизонт» находится памятник «Ленте Мёбиуса». Памятник был установлен в 1997 году. На основании скульптуры есть девиз: «Разные точки зрения на один предмет».

Над входом в Центральный экономико-математический институт РАН находится мозаичная «Лента Мёбиуса»

В Екатеринбурге в честь 285-летия в 2008 году установлена скульптура «Лента Мёбиуса». Скульптурный ансабль высотой четыре метра отлит из бронзы. Автор композиции, известный уральский скульптор Степан Адуашвили рассказал, что «Лента Мёбиуса» символизирует связь между прошлым и будущим.

Лента Мебиуса установлена в Риге.

Есть памятный знак «Лента Мёбиуса» в Минске.

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса — на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году в Бразилии на международном математическом конгрессе выпустили памятную марку с изображением листа Мёбиуса.

Свойства ленты Мебиуса нашли свое применение не только в науке, технике, но и в быту: предметах мебели, ювелирных украшениях.

Вязальщицы неутомимо вяжут снуды — шарфы в виде ленты Мёбиуса.

III. Заключение

Я считаю, что проделала интересную и полезную работу. Выполнив исследовательскую работу , я узнала много нового и интересного.

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни.

У математиков – идут дальнейшие исследования; у учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой; в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса. Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов, писателей – фантастов. В результате появились картины, скульптуры, марки, другие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса.

Закончить свою работу я хочу стихотворением Юрия Юркого.

Лист Мёбиуса – желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой, склеенный лоскут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны.

(Юрий Юркий)

Источники

1. Гарднер М. «Математические чудеса и тайны», - М: «Наука» 1978г.

2. Журнал «Квант» № 11, 1991 год.

3. «Математика»,приложение к первому сентябрю, №5, 2010г.

4. Энциклопедия для детей «Математика». – М: Аванта+, 2005.

5. Интернет – ресурсы: https://wikipedia.org ; https://zen.yandex.ru

29