Исследовательская работа "Палиндромы"

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа №2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино Муниципального района Клявлинский Самарской области

Исследовательская работа по теме:

«ПАЛИНДРОМЫ» Номинация: За страницами учебника математики.

Работу выполнила: Терентьева Дарина, ученица 6 класса ГБОУ СОШ №2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино

учитель математики

2017г.

Содержание:

1. Введение………………………………………………………………3-4

2. Основная часть

   1. В каких науках встречаются числа – палиндромы? ………….4-6

   2. Числа – палиндромы……………………………………………...6-7

2.3 Формулы – палиндромы…………………………………………7-10

1. Заключение……………………………………………………………10

2. Список литературы…………………………………………………..11.

3. Приложение………………………………………………………… .12-13

Введение

Моя старшая сестра учится в 11 классе. Ей в этом году предстоит сдавать ЕГЭ. При подготовки к экзамену по математике ей встретилась следующая задача:

а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15 (решение см. приложение).

Решить задачу она не смогла, так как понятие числа – палиндрома ей незнакомо. Сестра начала поиск понятия данного числа. Я люблю предмет математика, люблю узнавать что-то новое. Поэтому меня тоже заинтересовали эти числа. Таким образом, я начала свое исследование. Узнав, что это за числа, мне стала информация интересной, и я решила поделиться ей с одноклассниками.

Для того чтобы выяснить, знают ли мои одноклассники и 6-иклассники нашей школы про числа-палиндромы я провела опрос.

Задавала два вопроса:

1.Знаете ли вы, что существуют числа-палиндромы?

2. Хотели бы узнать об этих числах?

В опросе приняли участие 60 человек. Результаты опроса таковы, что 6-иклассники не знают о числах-палиндромах и пожелали узнать о них.

Я сделала вывод, что необходимо сделать для учеников 6-х классов презентацию о числах и на внеурочном занятии познакомить их с числами – палиндромами, так как всем нам в будущем сдавать ЕГЭ.

Проблема состоит в том, что многие школьники предмет математика считают трудным и не интересным, их мнение отражается на результатах обучения и на сдачи ЕГЭ.

Актуальность работы заключается в возможности получения интересной информации о числах.

Цель: изучить палиндромы в математике и рассмотреть их в других науках.

Задачи: 1. Изучить литературу по теме исследования.

1. Изучить числа-палиндромы.

2. Рассмотреть палиндромы в других науках

3. Доказать формулы - палиндромы.

5.Сделать презентацию для одноклассников о числах – палиндромах.

Объект исследования – числа палиндромы.

При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы: опрос, анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, исследование.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что многие одноклассники и не только, возможно обратят внимание на мое исследование.

Практическая значимость заключается в возможности применения итогов исследования на уроках математики и во внеурочной деятельности.

Гипотеза: Интересная информация о числах - палиндромах, заинтересует моих одноклассников и возможно они будут более углубленно изучать математику, что повысит их математическую грамотность и результативность обучения.

Основная часть

2.1 В каких науках встречаются числа – палиндромы?

Есть такие удивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево. Называются такие взаимообратные фразы палиндромами, что в переводе с греческого означает «бегущий назад, возвращающийся».

Я узнала, что палиндромы встречаются (презетация)

В литературе:

- Аргентина манит негра.

- Я иду с мечем судия.

-А роза упала на лапу Азора, (фраза из моей любимой сказки Алексея Константиновича Толстого «Буратино»). Именно её просила написать в диктанте неуча Буратино, капризная Мальвина.

В русском языке слова: ШАЛАШ, РАДАР, ТОПОТ, КОК, КАЗАК.
Английский язык: «Madam, I’m Adam» («Мадам, я— Адам,— представился первый человек первой женщине)

Латинский язык: Sum summus mus (Я— сильнейшая мышь)

Финский язык: Saippuakivikauppias (самое длинное в мире слово-палиндром)

Греческий язык: Νίψον ανομήματα μη μόναν όψιν (англ.)русск. (Смой грехи, не только лицо).

В изобразительном искусстве:

В биологии: Структура нуклеиновых кислот

Палиндромы в ДНК
1. палиндром, 2. кольцо, 3. стебель

В музыке: Пьесу играют «как обычно», но после того, как она заканчивается, ноты переворачивают и произведение играют заново, причем музыка не изменится. Итераций может быть сколько угодно и неизвестно, что является верхом, а что низом. Такие произведения можно играть вдвоем, читая ноты с разных сторон. Примерами таких музыкальных палиндромов могут являться произведения «Застольная мелодия для двоих» Моцарта и «Путь Мира» Мошелеса.

Каждую из этих фраз – палиндромов можно прочитать как слева направо, так и справа налево. А существуют палиндромы в матемкатике?

1. Числа – палиндромы

Числовой палиндром — это натуральное число, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Иначе говоря, отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.

Найти числа – палиндромы в математике не составило труда. Например, 1991, 666, 777, 1001, 2332 и т.д. Каждый может составить такие числа, чтоб они читались справа налево также как слева направо (презетация).

Я попыталась составить запись числа для этих чисел – палиндромов.

- в двузначных числах – палиндромах число единиц совпадает с числом десятков (например: 11; 99)

– в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц (535; 676) .

- в четырехзначных числах – палиндромах (4224; 3113) число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.

«Как из других чисел можно получить палиндромы?»

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах».

• Возьмём любое натуральное число и сложим его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.

• Проделаем то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не образуется палиндром.

Например: 1. Возьмем число 312: 312 + 213 = 525 (палиндром) - один шаг .

2. Число 67: 67+76 = 143

143+341 =484 (палиндром) - два шага

3.Число 96: 96 + 69 = 165,

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884 (палиндром) – четыре шага и т. д.

А суть гипотезы в том, что, взяв любое число, после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром.

1. Формулы – палиндромы

Исследование: Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется? (презетация)

Например: 33 + 55 = 55 + 33.

Попробую доказать:

+ = +

(10х + х) + (10у + у) = (10у + у) + (10х + х)

10х + х + 10у + у = 10у + у + 10х + х

11х + 11у = 11у + 11х

11(х + у) = 11(у + х)

х + у = у + х

Вывод: От перестановки слагаемых сумма не изменяется (переместительное свойство сложения).

Также можно доказать для n- значных чисел.

Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, то есть (презетация)

+ = +

Например: 76+ 34 = 43 + 67

Доказательство:

Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

= 10х₁ + у₁ = 10у₂ + х₂

= 10х₂ + у₂ = 10у₁ + х₁

(10х₁ + у₁) + (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) + (10у₁ + х₁)

(10х₁ + у₁) + (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) + (10у₁ + х₁)

10х₁ + у₁ + 10х₂ + у₂ = 10у₂ + х₂ +10у₁ + х₁

10х₁ - х₁ + 10х₂ - х₂ = 10у₁ - у₁ + 10у₂ - у₂

9 х₁ + 9 х₂ = 9 у₁ + 9 у₂

9(х₁ + х₂) = 9(у₁ + у₂)

х₁ + х₂ = у₁ + у₂

Вывод: Сумма первых цифр у всех таких пар чисел равна сумме их вторых цифр.

Теперь можно составлять такие суммы:

25 + 63 = 36 + 52 ; 43 +67 = 34+76; 53+24 = 35+42 и т.д.

Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево. (презетация)

- = -

Например: 76 - 49 = 94 - 67

Доказательство:

(10х₁ + у₁) – (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) – (10у₁ + х₁)

10х₁ + у₁ – 10х₂ - у₂ = 10у₂ + х₂ – 10у₁ - х₁

10х₁ + х₁ + у₁ + 10у₁ = 10у₂ + у₂ + 10х₂ + х₂

11 х₁ + 11 у₁ = 11х₂ + 11у₂

11(х₁ + у₁) = 11(х₂ + у₂)

х₁ + у₁ = х₂ + у₂

Вывод: У таких чисел равны суммы цифр.

Теперь можно составлять такие разности:

51– 42 = 24 – 15; 43 – 25 = 52 – 34; 45 – 27 = 72 – 54 и т.д.

Задача 3. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их умножения не менялся в результате прочтения произведения справа налево. (презетация)

∙ = ∙

Например: 39∙31=13∙93

Доказательство: ( с помощью учителя)

(10х₁ + у₁) ∙(10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) ∙ (10у₁ + х₁)

10х₁∙10х₂ + 10х_2∙у₁₊10х₁∙у₂+ у_1∙ у₂ = 10у₂∙10у₁ +10у₂∙ х_{1 +} 10у₁∙х₂ + х₁∙х₂

100х₁х₂ + 10х_2∙у₁+10х₁∙у₂+ у_1∙ у₂ = 100у₂у₁ +10у₂∙ х_{1 +} 10у₁∙х₂ + х₁∙х₂ (подчеркнула одинаковые слагаемые, удалю)

100х₁х₂ + 10х₁∙у₂+ у_1∙ у₂ = 100у₂у₁ +10у₂∙ х₁ + х₁∙х₂

100х₁х₂ + у_1∙ у₂ = 100у₂у₁ + х₁∙х₂

100х₁х₂ - х₁∙х₂ = 100у₂у₁ - у_1∙ у₂

99х₁х₂ = 99у_1∙ у₂

х₁∙х₂ = у_1∙ у₂

Вывод: произведение первых цифр равно произведению вторых цифр.

Теперь можно составлять такие произведения:

Примеры: 14∙82 = 28∙41; 26∙31= 13∙62; 12 ∙42= 24 ∙21 и т.д.

Задача 4. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их деления не менялся в результате прочтения деления справа налево. (презетация)

: = :

Для деления получаем такие примеры:

62 : 31 = 26 : 13

96 : 32 = 69 : 23 и т.д.

Произведение первой цифры первого числа на вторую цифру второго числа равно произведению двух других их цифр ( х_1∙у₂=х_2∙у_1).

Данное утверждение я пока не смогла доказать, но думаю, что мне удастся это сделать в дальнейшем.

В литературе я смогла найти формулы – палиндромы умножения многозначных чисел

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Также нашла примеры палиндромов в математике:

1. Магический квадрат с фразой: SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (слат. — «Сеятель Арепо с трудом держит колеса»), читаемой во всех направлениях(презетация)

1. Числовые палиндромы :

• 676 (наименьшее число-палиндром, являющееся квадратом не палиндрома— 26).

• 121 (наименьшее число-палиндром, являющееся квадратом палиндрома— 11).

• 44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544. Это число является в настоящее время мировым рекордом (наиболее отложенным палиндромом). Оно было найдено Джейсоном Дусеттом с помощью компьютера 30 ноября 2005 года.

Заключение

Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой, я поняла, если бы каждый из нас уделял ему больше внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного.

В своей работе я рассмотрела числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы, разности и произведения двузначных чисел и смогла их доказать. Можно задаться вопросом: «А сколько таких палиндромов существует?» Отвечу на этот вопрос в дальнейшем исследовании.

Выводы: Цели своей работы я достигла. Рассмотрела числа – палиндромы и записала их в общем виде. Привела примеры и доказала формулы – палиндромы для сложения, вычитания и произведения двухзначных чисел. Определила ряд вопросов, над которыми мне предстоит ещё работать и исследовать формулы – палиндромы.

Литература:

1.http://www.nkj.ru/archive/articles/17984/ (Наука и жизнь№5,2010г).

2.Кацюба Е.А.Первый палиндромический словарь.— Москва, 1999.

3..Кацюба Е. А.Первый палиндромический словарь.— Москва, 1999.

4. Е.А.Новый палиндромический словарь.— Москва, 2002.

5.Толстой А.К. Буратино. – М.: Вече, 2002. Буратино

6.Федин С.Н. Палиндроматика // Математика для школьников. – 2005. - № 1, с. 54.

7.Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел // книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Задание 19. а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15.

Решение.

а) Число-палиндром – это число, которое остается неизменным, если его читать наоборот. Возьмем четырехзначное число-палиндром и составим его из цифр a и b, получим: abba. Нужно подобрать цифры a и b так, чтобы число abba делилось на 15, т.е. оно должно быть кратно 15. Чтобы число было кратно 15, цифра a должна быть равна 5. Остается подобрать цифру b так, чтобы число было кратно 15, получим:

- число 5115 – кратно 15;

- число 5225 – не кратно 15;

- число 5335 – не кратно 15;

- число 5445 – кратно 15; и т.д.

Ответ: 5115; 5445.

б) Чтобы число делилось на 15, последняя цифра должна быть 5 (0 на конце недопустим), получим числа по форме 5aba5. Также это число должно делиться еще и на 3, т.к. , где 3 и 5 – простые числа. Признаком делимости числа на 3 является то, что сумма цифр числа делится на 3, таким образом, получаем условие:

должно быть кратно 3. Очевидно, цифра b может быть от 0 до 9, имеем:

- для b=0: ;

- для b=1: ;

- для b=2: ;

- для b=3: .

Дальше все повторяется, т.к. сумма увеличилась на 3. Таким образом, в первой тройке значений имеем 10 вариантов чисел-палиндромов. Аналогично для второй и третьей тройки. В последнем варианте при b=9 имеем 3 варианта и того 30+3=33 варианта.

Ответ: 33.

в) Найдем 37-е по счету число-палиндром, начиная с самого младшего, т.е. с трехзначного числа типа 5a5, затем переберем четырехзначные 5aa5, получим:

- для трехзначных: 525, 555, 585;

- для четырехзначных: 5115, 5445, 5775;

Итак, имеем 6 первых чисел-палиндромов. В соответствии со схемой, представленной в пункте б), найдем 37-е число-палиндром. По сути, нужно найти 37-6=31-е пятизначное число-палиндром, которое будет соответствовать  и , т.е. получим число 59295

Ответ: 59295.

Задача № 2. Если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на:

• А 17

• Б 2

• В 5

• Г 9

• Д 13

Решение:

авс – сва = 100а+10в+с – 100с –10в-а = 99а – 99с = 99(а-с)