12
«Жизнь в процентах»
Галкин Максим Олегович
Российская Федерация
Министерство образования
ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ
Муниципальное образование Ямальский район
с. Мыс Каменный
Муниципальное казённое учреждение общеобразовательная школа-интернат
«Мыскаменская школа-интернат среднего (полного) общего образования»
7а класс
Оглавление
I. Введение…………………………………………………………………………..3-4
II.1. История возникновения процентов…………………………………………..4-5
1.1. Определение процента. Типы задач на проценты…………………………....6-7
2. Типы задач на проценты в ГИА……………………………………………….....7
2.1.Прикладные задачи………………………………………………………………7-8
2.2. Финансовые задачи……………………………………………………………..9
III.Заключение………………………………………………………………………9-11
IV. Литература………………………………………………………………………11-12
V. Приложения………………………………………………………………………I-VIII
«Жизнь в процентах»
Галкин Максим Олегович
Российская Федерация
Министерство образования
ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ
Муниципальное образование Ямальский район
п. Мыс Каменный
Муниципальное казённое учреждение общеобразовательная школа-интернат
«Мыскаменская школа-интернат среднего (полного) общего образования»
7 класс
I.Введение
Прикладное значение темы «Проценты» очень велико и затрагивает финансовую, экономическую и другие сферы нашей жизни. В школьном курсе математики на решение задач по теме «Проценты» отведено недостаточное количество часов. Поэтому многие учащиеся затрудняются решать текстовые задачи на проценты и при подходе к итоговой аттестации в девятом классе сталкиваются с данной проблемой, так как задания такого типа обязательно входят в состав вариантов КИМов ГИА.
Гипотеза работы: я предполагаю, что умение выполнять процентные расчёты и решать прикладные задачи на проценты необходимы не только выпускникам школы, но и современным людям, так как с понятием процента мы сталкиваемся ежедневно.
Цели работы: систематизация знаний по теме «Проценты»; доказательство необходимости уметь выполнять процентные вычисления в задачах ГИА, и практических задачах повседневной жизни.
Задачи работы:
Обобщить знания по теме исследования;
Проанализировать литературу для подготовки к экзаменам, определить основные типы задач на проценты, взятых из сборников для подготовки к ГИА, создать электронное учебное пособие в программе Сайткрафт-Студия и электронные тесты в программе MyTestХ для учеников по данной теме и апробировать их на уроках и консультациях;
Рассмотреть применение процентных вычислений в жизни семьи и класса, и наглядно проиллюстрировать результаты в виде диаграмм и таблиц;
Провести опрос в школе среди 6-9 классов;
Поработать в текстовом редакторе, с Интернет-ресурсами;
Обобщить результаты работы.
Теоретическая значимость заключается в необходимости повторения, закрепления знаний и умений по решению задач по теме «Проценты».
Практическая значимость заключается в применении процентных вычислений в реальной жизни: финансовой, экономической, торговой, банковской сферах.
Научная новизна работы: создание электронного учебного пособия и тестов с целью изучения материала по данной теме.
Объект исследования: семья, учащиеся школы.
Предмет исследования: понятие процента, изучение различных типов задач на проценты.
Методы работы:
Теоретический анализ научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет, систематизация полученной информации, обобщение выводов.
Практический метод: выполнение вычислений при решении различных задач на проценты, представление результатов практических исследований в виде таблиц и диаграмм, создание электронного пособия и тестов в программе Сайткрафт.
Опросно-диагностический метод.
II.1. История возникновения процентов.
Практически ежедневно мы получаем из различных источников какую - либо информацию, и очень часто в процентах. Стало привычным слышать об ипотечном кредитовании с процентной ставкой под 12 %, или о том, что в выборах приняли участие 89 % избирателей. Покупая продукты питания, обращаем внимание на то, что массовая доля жира в сливочном масле 75,3 %, а в молоке 5 %. Слово «процент» происходит от латинского слова «ргоcentum», что буквально переводится «за сотню», или «со ста».[1] Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчёт процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией.[2] Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам. [9]
В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особое внимание обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.
Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин -
инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе - особой записи десятичных дробей. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). [2]
Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова «cento» (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно «cto». Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо «cto» напечатал %. [9]
Если мы говорим о предметах некоторой заданной совокупности - деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она принимается за 100 %. Если речь идет о проценте от данного числа, то это число принимается за 100 %. Например, 1 % зарплаты - это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты - это 100 сотых частей зарплаты. т.е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13 %, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60 %» хлопка на этикетке обозначает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е. более чем на половину состоит их чистого хлопка. 3,2 %,жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).
II. 1.1. Определение процента. Типы задач на проценты.
Процентом от некоторой величины называется одна сотая её часть: 1 % - это .
Поэтому, чтобы найти 1 % от некоторой величины, нужно эту величину разделить на 100.
Например, 1 % от 3000 руб. равен 3000:100 = 30 руб; 1 % от 2 кг равен 2:100 = 0,02кг.
Для того чтобы свободно пользоваться этим понятием при решении задач и выполнении процентных расчётов, нужно уметь переходить от дробей к процентам и наоборот.
Правило перевода десятичных дробей в проценты: чтобы часть величины, записанную десятичной дробью, выразить в процентах, надо перенести запятую на два знака вправо и приписать к полученному числу знак %. [6]
Пример:
0,52 некоторой величины - это 52 % этой величины;
0,125 некоторой величины - это 12,5 % этой величины;
1,7 некоторой величины - это 170 % некоторой величины.
Правило перевода процентов в десятичные дроби: чтобы часть величины, записанную в процентах, выразить десятичной дробью, надо в числе, стоящем перед знаком %, перенести запятую на два знака влево.
Пример:
32 % некоторой величины - это 0,32 этой величины;
17,5 % некоторой величины - это 0,175 этой величины;
150 % некоторой величины - это 1,5 этой величины.
Если часть величины задана обыкновенной дробью, то, чтобы выразить эту часть в процентах, удобно записать дробь в виде десятичной. Например, = 0,625, значит, - это 62,5 %.
Основные типы задач на проценты:[5]
Нахождение процента от числа:
Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20 % изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
Решение. Нужно найти 20 % от общего количества изготовленных приборов (500).
20 % = 0,2.
500 · 0,2 = 100 или 500:100 ·20=100.
Ответ: 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.
Нахождение числа по его проценту.
Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из сборника, что составляет 25 % числа всех задач в сборнике. Сколько всего задач содержится в этом сборнике?
Решение. Общее количество задач не известно. Но нам известно, что 38 задач составляют 25 % от общего количества. Запишем 25 % в виде дроби: 0,25. Далее следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 · 100/25 = 152. Ответ: 152 задачи включили в этот сборник.
II.2. Типы задач на проценты в ГИА
При изучении процентов, обыкновенных и десятичных дробей мы решаем различные задачи, начиная с элементарных (процент или дробь от числа, число по его процентам или дроби) и заканчивая достаточно сложными для понимания и решения учащимися задачами. Решение текстовых задач на проценты, к сожалению, заканчивается по программе в 6-7 классах и поэтому включение их в содержание КИМов ГИА по математике требует в 9 классах повторения, обобщения и отработки алгоритмов решения.
По содержанию задачи можно разбить на следующие группы: [12]
- прикладные задачи: купля – продажа; оптимальный выбор; спрос–предложение;
- финансовые задачи.
II. 2.1. Прикладные задачи.
Под прикладной математикой обычно понимается тот раздел математики, в котором демонстрируется применение математики в практических ситуациях. В качестве прикладных задач рассмотрим задачи, с которыми мы и наши родители сталкиваемся практически каждый день. При решении таких задач важно знать такие понятия как, скидка, уценка, наценка, оптовая цена. Приведём несколько примеров задач прикладного характера по теме «Проценты». Задачи такого типа входят в состав экзаменационных вариантов. Часто прикладные задачи повышают мотивацию к обучению и вызывают у людей познавательный интерес.
Задача 1: Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%? [4]
Решение:
Сначала вычислим сколько рублей составляет скидка (25%) от всей стоимости флакона шампуня.
160 : 100 =1,6 руб. - это 1%
1,6 * 25 = 40 руб. -скидка 25%
Теперь вычислим новую цену товара с учётом скидки.
160 - 40 = 120 руб.
Наибольшее число флаконов, которое можно купить на 1000 руб.
1000 : 120 = 8,33333333...
Значит на 1000 руб. можно купить 8 флаконов
Задача 2: Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?
Решение:
Сначала найдём 10% от стоимости шариковой ручки.
40: 100 * 10 = 4 руб.
Так как цену товара повысили, то 40 + 4 = 44 руб. - это новая цена ручки после повышения на 10%.
На 900 руб. можно купить
900 : 44 = 20,4....
Значит, на 900 руб. можно купить 20 шариковых ручек.
Задача 3: Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей? [8]
Решение:
120 : 100 * 20 = 24 руб. - это наценка
120 + 24 = 144 руб. - это цена цветочного горшка в магазине
1000 : 144 = 6,9......
Значит, на 1000 руб. можно купить в магазине 6 горшков.
Задача 4: Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 руб. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и двух взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу?[10]
Решение:
Вычислим стоимость железнодорожного билета для школьника.
720 : 100 * 50 = 360 рублей.
Группа состоит из 15 школьников и двух взрослых. Значит, 15 * 360 + 2 * 720 = 5400 + 1440 = 6840 руб. стоят билеты на всю группу.
Задача 5: До снижения цен товар стоил 800 рублей, а после снижения цен стал стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена товара? [8]
Решение: Составим отношение цены после снижения к цене до снижения.
680 / 800 = 0, 85.
Выразим дробь 0,85 в процентах.
0,85 * 100 = 85%.
Новая цена составляет 85%. Значит, цену товара снизили на 100%- 85% = 15%.
II. 2.2. Финансовые задачи.
На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты. При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы вложенных средств не зависимо от срока вложения. В финансовых операциях простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых сделках. Эти термины чаще всего встречаются в банковских делах, в финансовых задачах. Банки привлекают средства (вклады) за определенные процентные ставки. В зависимости от процентной ставки вычисляется доход. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой. [3]
Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х % и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а · (1 + у · х/100). Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% - процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а · (1 + х/100)у. [11]
Например, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:
Таблица 1. Накопленная сумма с использованием простых и сложных процентов.
| На начало | 1-й год | 2-й год | 3-й год | 4-й год | 5-й год |
Простые проценты | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 |
Сложные проценты | 100 | 110 | 121 | 133,1 | 146,41 | 161,051 |
Рассмотрим пример:
Сберегательные банки начисляют по вкладам ежегодно 2 % вклада. Вкладчик внёс в сберегательный банк 150 рублей. Какой станет сумма вклада через 2 года?
Решение: Вклад к концу первого года составит 150 + 150 · 0,02 = 153 руб., а к концу второго года 153 + 153 · 0,02 = 153 + 3,06 = 156,06 руб. = 156 руб. 6 коп.[5]
III. Заключение.
В ходе исследовательской работы я систематизировал все знания о процентах, рассмотрел все типы задач, входящих в сборники для подготовки к ГИА. Исходя из формулировок задач, понял, как тесно связана тема процентных расчётов с действительностью, окружающей современного человека. Я применил проценты в повседневной жизни, чтобы исследовать бюджет семьи (Приложение I) за три месяца (январь, февраль, март 2015г.). По результатам исследования семейного бюджета сделал вывод, что в нашей семье наибольшее количество процентов от общего дохода было потрачено на питание и так как в квартире делали ремонт то на строительные и хозяйственные товары.
На примере своего класса исследовал процентное соотношение мальчиков и девочек 7а класса (Приложение II), внеурочную деятельность (Приложение III), успеваемость за I, II, III четверти (Приложение IV), дни рождения учащихся (Приложение V). Результаты моих исследований были представлены в таблицах и диаграммах.
Среди 6-9 классов был проведён опрос. Результаты опроса представлены в диаграммах (Приложение VI). Учащимся было предложено ответить на следующие вопросы:
Знаете ли Вы что такое «процент»?
Умеете ли Вы производить простые процентные расчёты?
Встречаются ли проценты в Вашей жизни?
Считаете ли Вы, что умение выполнять процентные вычисления необходимо каждому человеку?
Встречали ли Вы в сборниках для подготовки к экзаменам задачи на проценты?
Возникают ли трудности при решении задач на проценты?
Есть ли польза от электронного учебного пособия и электронных тестов, предложенных Вам на занятиях?
В процессе выполнения работы, я создал электронное учебное пособие (Приложение VII) и как приложение к данному пособию – электронные тесты (Приложение VIII), которыми могут воспользоваться ученики для подготовки к урокам и экзаменам. Считаю, что я подтвердил гипотезу о том, что данная тема очень важна как для старшеклассников, которые готовятся к экзаменам, так и для современного человека в его жизни. Для облегчения работы учащихся по данной теме было разработано электронное учебное пособие, которое состоит из разделов:
1. Определение процента.
1.1. Задания для самостоятельного решения.
2. Выражение отношения в процентах.
2.1. Задания для самостоятельной работы.
3. Задачи на проценты.
3.1. Прикладные задачи.
3.2. Финансовые задачи.
4. Задачи из сборников ГИА.
Считаю, что электронное пособие имеет некоторые преимущества его использования:
-учащиеся получают доступный материал с примерами решения задач;
-программа предоставляет возможность действовать самостоятельно;
-учащиеся могут установить данное пособие на свой компьютер и готовиться к экзаменам дома.
- в каждом пункте пособия приведены задания для самостоятельного решения, ответы которых можно проверить с помощью электронных тестов, которые разработаны к данному пособию.
Электронное пособие представляет собой открытую систему, что позволяет расширять и дополнять пособие новым материалом. Его можно применять не только на уроках, но и при дистанционном обучении.
IV. Список используемых источников
Список литературы:
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1999.-287c.
Виленкин Н.Я., Жохов В.И. Математика: учебник для 5-6 кл. – М.: Мнемозина, 2005.-280c.
Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б. Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс основной школы. – М.: Дрофа, 2001.-192c.
Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Булычёв В.А., Бунимович Е.А., Рослова Л.О. Математика: ГИА: Учебно-справочные материалы для 9 класса. – М.: СПб.: Просвещение, 2012.-279c.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.-416c.
Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.-352c.
Фридман Л.М. Изучаем математику: кн.для учащихся 5-6 классов.- М.:Просвещение, 1995.-255c.
Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С., Семёнов А.В. ГИА 2014. Математика 9 класс. Государственная итоговая аттестация. Типовые тестовые задания. – М.: Издательство «Экзамен», 2014.-78c.
Список Интернет-ресурсов:
http://matuha.ru/istoriya-matematiki/istoriya-vozniknoveniya-protsentov
http://www.fipi.ru
https://ru.wikipedia.org/wiki
http://nsportal.ru
http://festival.1september.ru
http://www.egesdam.ru
http://matematikalegko.ru/procenti/zadachi
http://gigabaza.ru