Измерение отрезков.

§ 4. Измерение отрезков.

п. 7. Длина отрезка.

п. 8. Единицы измерения. Измерительные инструменты.

Напомним, что отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Значит, у отрезка можно измерить расстояние от одной точки до другой.

Определение. Длиной отрезка называется расстояние между его концами.

Поскольку расстояние не может быть равным нулю или отрицательным (попробуйте пройти метра), то и длина – это строго положительная величина.

Аксиома III. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Если на отрезке, между его концами, лежат две точки, то весь отрезок разбивается на три отрезка, и т.д.

Равные отрезки имеют равные длины.

Отрезки можно измерять в разных единицах. Если вы хотите измерить длину своего карандаша, то это сантиметры, если измерить расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга, то это километры. Напомним, какие ещё единицы измерения мы знаем и как они связаны между собой.

Есть ещё и другие единицы измерения длины, которые используются в других странах, или использовались в прошлом.

Приведём пример.

На прямой m лежат точки M, N и K, причём MN = 85 мм, NK =1,15 дм. Какой может быть длина отрезка MK в сантиметрах?

Дано: – прямая, ,

Найти:

Решение.

1. Пусть точка лежит между точками и , т.е. . Тогда,

(по аксиоме III),

.

1. Пусть . Тогда,

(по аксиоме III)

.

1. Пусть . Тогда,

(по аксиоме III)

. Мы получили отрицательную длину, что противоречит аксиоме III. К противоречию пришли потому, что сделали неверное предположение, значит, , т.е. точка не может лежать между точками и .

Ответ: или .

1. Как на плоскости расположены точки , если ? Сделайте чертёж.

2. Известны длины трёх отрезков см, см, см. Как расположены точки ? Сделайте чертёж, взяв масштаб клетка = см.

3. Точка лежит на отрезке , длиной см, так, что . Сделайте чертёж и найдите длину отрезка .

4. Точка лежит на прямой , длиной см, так, что . Сделайте чертёж и найдите длину отрезка .

5. Точка лежит на отрезке , длина которого равна см. Найдите длины отрезков и , если длина отрезка в два раза больше длины отрезка .

6. Точка лежит на отрезке . Чему равно расстояние от точки до середины отрезка , если см, см?

7. Точка лежит на отрезке , длина которого равна см. Найдите длины отрезков и , если длина отрезка в три раза меньше длины отрезка .

8. Точка лежит на отрезке , длина которого равна см. Чему равно расстояние между серединами отрезков и ?

9. Точка лежит на отрезке , длина которого равна см. Найдите длины отрезков и , если длина отрезка на см меньше длины отрезка .

10. Точка лежит на отрезке , точки и – середины отрезков и . Найдите отрезок , если отрезок равен см.

11. Точки лежат на одной прямой. Известно, что м, м, м. Может ли точка лежать между точками и ? Ответ обоснуйте.

12. Обоснуйте, почему точки и не лежат на одной прямой, если дм, дм, дм.

13. Точки и принадлежат одной прямой, причём, точки и лежат по разные стороны от точки . Найдите длины отрезков и , если см, а отрезок на см короче отрезка .

14. Точка принадлежит отрезку . Найдите его длину, если см, а длина в 4 раза меньше, чем .

15. Точка лежит на прямой . Найдите длину отрезка , если м, м. Сколько решений имеет задача?

16. Точки и принадлежат одной прямой, причём, точки и лежат по разные стороны от точки . Найдите длины отрезков и , если , а отрезок на 4 длиннее отрезка .

17. Точка принадлежит отрезку . Найдите длину отрезка , если на см больше, чем , чем

18. Точка лежит на прямой . Найдите длину отрезка , если см, см. Сколько решений имеет задача?

19. Отрезки и пересекаются. Точка лежит на отрезке , причём, см, см и см. Является ли точка точкой пересечения отрезков и ? Ответ обоснуйте.

20. Отрезки и пересекаются. Точка лежит на отрезке , причём, см, см и см. Является ли точка точкой пересечения отрезков и ? Ответ обоснуйте.

21. Точка – середина отрезка , точка – середина отрезка . Найдите длину отрезка , если см.

22. Точки лежат на прямой а, причём АВ = 5,7 м, ВС = 730 см. Какой может быть длина отрезка АС в дециметрах?

23. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причём, см, см. Найдите длину отрезка .

24. Длина отрезка равна см. Точка делит отрезок на два отрезка и . Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

25. Точка делит отрезок на два отрезка. Найдите длину отрезка , если известно, что см, см.

26. На отрезке отмечены точки и так, что лежит между и , и – середина отрезка . Сделайте чертёж и найдите длину отрезка , если

27. На отрезке MN, равном 8 дм, лежат точки А и В по разные стороны от середины С отрезка MN, СА = 7 см, СВ = 0,24 м. Найдите длины отрезков AN и BN в дециметрах.

28. На отрезке отмечены точки и так, что – середина отрезка и – середина отрезка . Сделайте чертёж и найдите длину отрезка , если

29. Длина отрезка равна см. Точки и делят отрезок на три отрезка и . Найдите расстояние между серединами двух крайних отрезков, если см, см.

30. На отрезке отмечены точки и так, что лежит между и , и – середина отрезка . Сделайте чертёж и найдите длину отрезка , если

31. Точка M – середина отрезка EF, длина которого равна 1,2 м. От точки М, по разные стороны от неё, отложены два отрезка MP = 1,6 дм и MQ = 40 см. Найдите длины отрезков EP и QF в сантиметрах.

32. На отрезке , равном 192 дм, дана точка , такая, что . На отрезке отложен отрезок , равный . Найдите расстояние между серединами отрезков и .

33. Длина отрезка равна см. Точки и делят отрезок на три отрезка и . Найдите расстояние между серединами отрезков и .

34. На прямой отложены два равных отрезка и . На отрезке дана точка , такая, что . Найдите длину отрезка, концами которого являются середины отрезков и , если м.

35. Даны три и , лежащие на одной прямой, причём, . Какую длину может иметь отрезок ? Сделайте чертёж.

36. Длина отрезка равна см. Найдите на прямой все такие точки , для которых .

37. Длина отрезка равна см. Найдите на прямой все такие точки , для которых .

2