К уроку алгебры "Теорема Виета"

МКОУ Землянская СОШ

Алгебра 8 класс

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета

Цели урока:

• Познакомится с теоремой Виета
• Научится применять её для решения квадратных уравнений и для проверки

найденных корней

• Предоставить каждому ученику возможность проверить свои знания и повысить их уровень

Вспомним:

• Какое уравнение называется квадратным?
• Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
• Какое уравнение называется неполным квадратным?
• Какое уравнение называется приведенным?
• Как называются коэффициенты квадратного уравнения?
• Какое выражение называется дискриминантом?
• От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Решить устно уравнения

х 2 – 36 = 0

х 1 = 6, х 2 = -6

у 2 +49 = 0

нет решения

с 2 – 7с = 0

х 1 = 0, х 2 = 7

5х 2 = 0

х = 0

Составьте уравнения,

корнями которых являются числа:

а) 0 и 3

х² - 3х = 0

б) 7 и – 7

х² - 49 =0

в) – 5 и 5

(х + 5)·(х - 5) = 0

г) 2 и 2

(х - 2)·(х - 2) = 0

Проблемы:

1. Решить устно уравнения:

х 2 – 2012х + 2011 = 0

х 2 – 377х + 750 = 0

2. Составить полное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

2 и 3; 157 и 1.

Поиск:

1.

Уравнение

1.

Уравнение

p

х 2 + 5х + 6=0

х 2 + 5х + 6=0

p

2.

2.

q

5

q

х 2 - 5х + 6=0

3.

х 2 - 5х + 6=0

3.

6

x 1

x 1

х 2 – 7х + 6=0

-5

4.

х 2 – 7х + 6=0

4.

x 2

-3

x 2

-7

х 2 + 7х + 6=0

х 2 + 7х + 6=0

6

-2

x 1 +x 2

x 1 +x 2

6

2

7

x 1· x 2

-5

x 1· x 2

6

3

6

6

5

1

-6

-1

7

6

6

-7

6

Открытие

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения

х 2 + p x + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Х 1 + Х 2 = -Р Х 1 • Х 2 = q

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый ученый Франсуа Виет (1540-1603)

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля.

В 1591 г. он ввел буквенные обозначения для коэффициентов при неизвестных в уравнениях, что дало возможность записать общими формулами корни уравнения и свойства.

Его часто называют «Отцом алгебры».

сказал, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе.

Нет формул важней для приведённого уравнения:

- p – это сумма его корней,

q – его корней произведение.

Применение теоремы Виета

Уравнение

Уравнение

Дискриминант

1. х 2 – 9х +1=0

1. х 2 – 9х +1=0

Дискриминант

D = 77

Сумма

корней

2. х 2 +8х +10=0

2. х 2 +8х +10=0

Сумма

корней

D = 24

3. х 2 +3х – 10=0

Произведение корней

Произведение корней

9

3. х 2 +3х – 10=0

D = 49

1

- 8

4. х 2 – 6х – 7=0

4. х 2 – 6х – 7=0

10

5. х 2 +3х +5=0

- 3

D = 64

5. х 2 +3х +5=0

-10

D = -11

6

- 7

Применение теоремы Виета

Проверка найденных корней квадратных уравнений.

Проверяем домашнюю работу

1. х 2 – 2х – 15=0

х 1 =5 х 2 = - 3

По формулам Виета х 1 + х 2 = 2 х 1 х 2 = - 15

Проверяем: 5 + ( - 3) = 2

5 ·( - 3) = - 15

Применение теоремы Виета

Проверка найденных корней квадратных уравнений.

Проверяем домашнюю работу

2. у 2 – 4у – 96 =0

у 1 = - 8 у 2 =12

По формулам Виета у 1 + у 2 =4 у 1 у 2 = - 96

Проверяем: - 8 + 12 = 4

- 8 · 12 = - 96

Применение теоремы Виета

Угадываем корни

Х 2 + 3Х – 10 = 0

Х 1 · Х 2 = – 10, значит корни имеют разные

знаки

Х 1 + Х 2 = – 3, значит больший по модулю

корень - отрицательный

Подбором находим корни: Х 1 = – 5, Х 2 = 2

Применение теоремы Виета

Составляем квадратное уравнение

Пусть Х 1 = 2, Х 2 = – 6 – корни квадратного

уравнения

Х 1 + Х 2 = – 4, Х 1 · Х 2 = – 12, тогда по теореме Виета

Х 2 + 4Х – 12 = 0 – искомое квадратное уравнение

Решите сами !

x 2 – 6 x + 8 = 0

x 2 –10 x +21 = 0

x 2 –10 x +25 = 0

x 2 –8 x – 20 = 0

x 2 –7 x +12 = 0

x 2 + 9 x +14 = 0

x 2 – 7 x -1 8 = 0

x 2 – 3 x -2 8 = 0

x 2 + x - 6 = 0

Ответ: 2; 4

Ответ: 3; 7

Ответ: 5

Ответ: -2; 10

Ответ: 3; 4

Ответ: - 2; - 7

Ответ: 9; - 2

Ответ: 7; - 4

Ответ: - 3; 2

Проблемы:

1. Решить устно уравнения:

х 2 – 2012х + 2011 = 0

х 2 – 377х + 750 = 0

2. Составить полное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

2 и 3; 157 и 1.

1 ) Укажите в квадратном уравнении х²+3-4х = 0 второй коэффициент.

2) В квадратном уравнении 7х-5 + х²=0 второй коэффициент взятый с противоположным знаком равен:

3) Сумма и произведение корней уравнения х²+7х-1= 0 равны:

а) 1

б) - 4

г) 3

в) 4

б) - 4

в) 5

г) - 7

а) 1

г) х 1 ·х 2 =7

х 1 +х 2 =-1

а) х 1 +х 2 =7

х 1 ·х 2 =1

б) х 1 +х 2 =1

х 1 ·х 2 =7

в) х 1 +х 2 =-7

х 1 ·х 2 =-1

4) Если число 11 корень уравнения х²-13х+22=0, то второй корень равен:

5) Если 2 корень уравнения х²-6х+ q =0, то q равен:

6)Не решая уравнение х²-9х-4=0, определите знаки корней уравнения.

7)Для уравнения -9х²+2х-4=0 приведенным является уравнение вида:

а) 13

в) 2

б) -11

г) -2

а) 12

б) 8

в) -12

г) 6

а) одинаковые

б) разные

в)оба положительные

г)оба отрицательные

«Если звёзды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно»

Зачем нужна теорема Виета?

С её помощью можно :

• найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его
• зная один корень, найти другой
• найти корни подбором
• определить знаки корней уравнения
• проверить, правильно ли найдены корни уравнения

“ Посредством уравнений, теорем, Я уйму разрешил проблем”.

Выучив теорему Виета, вы тоже разрешите для себя уйму всяких проблем .

Усвоить п.24.Решить №580 и №583