Россия, Иваново
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 19.11.2020 18:40
Крупская Татьяна Ивановна
заместитель директора по УВР, учитель математики
61 год
194
174 700 
Местоположение
Специализация
Конспект урока "Арифметическая прогрессия"
Категория:
Математика
05.03.2020 14:50
Просмотр содержимого документа
«Конспект урока "Арифметическая прогрессия"»
Конспект урока по теме: «Арифметическая прогрессия»
Тип урока: урок «открытия» нового знания
Образовательные цели:
создать условия для формирования первоначальных представлений об арифметической прогрессии; поиска и выделения необходимой информации; подведения под понятия; выведения следствий; умения строить логическое рассуждение и делать выводы; формирования образовательной компетентности.
Развивающие цели:
организовать работу по развитию умений определять понятия, создавать обобщения;
развитию умений анализировать.
Воспитательные цели:
способствовать воспитанию настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, доказывать свою точку зрения; формирование целостного мировоззрения.
Ход урока
1. Этап актуализации.
- Наше познание курса алгебры можно сравнить с походом в горы и сегодня мы с вами преодолеем ещё одну математическую вершину, а какую вы узнаете позже. А теперь давайте проверим ваш багаж и выясним готовы ли вы к восхождению.
Теоретически – практический тест
Вариант 1
1. Последовательности бывают:
а) конечные б) постоянные в) бесконечные
2. Числа, образующие последовательность, называются:
а) членами б) номерами в) числами
3. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена хn = 2n – 1
а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …
4. Найдите седьмой член последовательности ( аn), заданной формулой: аn = n( n + 1 )
а) 5 б) 12 в) 56
5. Найдите второй член последовательности ( сn ), если с1 = 8; сn+1 = cn – 1
а) 6 б) 7 в) 8
Вариант 2
1. Последовательность обозначается
а) хn б) аn в) ( xn )
2. Способы задания последовательностей:
а) формулой n – го члена б) рекуррентный способ в) словесно
3. Члены последовательности обозначаются:
а) а1, а2, а3,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а1, а2,а3,….
4. Найдите второй член последовательности ( сn ), если с1 = 8; сn+1 = cn + 1
а) 9 б) 7 в) 3
5. Найдите шестой член последовательности ( аn), заданной формулой: аn = n( n + 1 )
а) 67 б) 42 в) 56
(учащиеся выполняют тест по вариантам, при проверке обмениваются тестами и выполняют взаимопроверку по предложенным ответам, выставляют оценки согласно критериям. За каждое верно выполненное задание 1 балл) (Слайд 2)
| Вариант | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | а, б, в | а | б | в | б |
| 2 | в | а, б, в | в | а | б |
- Поставьте оценки в трансфертные листы, которые вы сдадите в конце урока. (Приложение 1)
- Кто всё правильно выполнил? У кого 1 ошибка? 2 ошибки?
- Молодцы! Теперь можно смело отправляться в путь. Путь к вершине всегда труден. и , чтобы её достичь. нужно преодолеть немало испытаний. Перед вами первое испытание.
2. Этап проблематизации.
(Работа в парах + группа из 4 человек разгадывает кроссворд)
(Слайд 3)
Предложенные числовые последовательности распределите на две группы, назовите их общий признак.
(an): 1; 3; 5; 7; 5; 9; 11…
(кn): 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; …
(хn): 1, 2, 4, 8, 16; …
(cn): 2; 6; 18; 54…
(dn): 16; 13; 10; 7…
(en): 32; 16; 8; 4…
| (an): 1; 3; 5; 7; 5; 9; 11… (кn): 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; … (dn): 16; 13; 10; 7… | (хn): 1, 2, 4, 8, 16; … (cn): 2; 6; 18; 54… (en): 32; 16; 8; 4… |
- В первой группе следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа или два соседних члена отличаются на одно и то же число.
- Во второй группе следующий член последовательности получается при умножении предыдущего на число.
- Кто готов ответить? Какие ещё варианты?
- Теперь сравните полученные результаты с образцом и поставьте оценки. (Слайд 4)
(Правильно сгруппированы последовательности и верно определён признак – «5», верно сгруппированы последовательности, но признак определён неверно – «4», допущены 1 - 2 ошибки при группировке последовательностей, признак определён неверно – «3», допущено больше 2 ошибок, признак не определён или определён неверно – «2»)
Поднимите руки у кого «5», «4».
- Как называется каждая из этих последовательностей нам скажут ребята, работавшие в группе.
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | П | е | р | в | ы | й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2 | п | Р | е | д | ы | д | у | щ | и | й |
|
|
|
|
|
|
|
| 3 | к | О | н | е | ч | н | а | я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 4 | р | е | к | у | Р | р | е | н | т | н | ы | й |
|
|
|
|
|
|
|
| 5 | ч | л | Е | н | ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6 | в | о | з | р | а | С | т | а | ю | щ | а | я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 7 | С | л | о | в | е | с | н | ы | й |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 8 | И | н | д | е | к | с |
|
|
|
| 9 | у | б | ы | в | а | ю | щ | а | Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы:
Номер члена последовательности, стоящего в самом начале. (Первый)
Член последовательности, стоящий перед любым ее членом, начиная со второго. (Предыдущий)
Последовательность, в которой конечное число членов. (Конечная)
Способ задания последовательности, который в переводе с латинского означает «возвращаться» . (Рекуррентный)
Числа, образующие последовательность. (Члены)
Последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего. (Возрастающая)
Способ при котором правило составления последовательности описано словами. (Словесный)
Число, указывающего порядковый номер любого члена последовательности. (Индекс)
Последовательность, в которой каждый последующий член меньше предыдущего. (Убывающая)
-Это … (прогрессия). Верно.
Проверьте ваши ответы и поставьте оценки согласно критериям. (Слайд 5)
(Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2-3 ошибки – «3», больше 3 ошибок – «3»)
Что мы сегодня будем изучать? (прогрессии)
- А откуда произошло это слово и что оно означает?
(Краткая историческая справка. Сообщение ученика. Индивидуальное задание) (Слайды 6-8)
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперёд») и был введён римским автором Боэцием (VI в.), и понимался
как бесконечная числовая последовательность.
Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.
У нас в России задачи на прогрессии впервые встречаются в одном из древнейших памятников русского права – в «Русской правде», составленном при Ярославе Мудром в XI веке.
Значительное количество задач на прогрессии имеется в замечательном памятнике начала XVIII века – «Арифметике» Л.Ф.Магницкого. В течение полувека эта книга была основным учебником в России.
- Вы справились с первым испытанием и тем самым преодолели 1 этап. Двигаемся дальше. О каких видах прогрессий шла речь в сообщении? (Арифметической и геометрической)
Сегодня мы изучим одну из них. Предлагаю начать с арифметической прогрессии.
- Тема урока: «Арифметическая прогрессия» (Слайд 9)
3. Этап целеполагания.
-Чтобы знать, к чему стремиться, сформулируйте цель и задачи урока.
Цель: изучить арифметическую прогрессию
Задачи:
изучить определение арифметической прогрессии;
узнать, как задаётся арифметическая прогрессия;
научиться определять, является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет;
изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии;
научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.
Как вы считаете, какая у меня цель?
(Организовать работу так, чтобы мы смогли справиться со всеми поставленными задачами)
(Слайд 10)
4. Этап концептуализации и моделирования.
- Итак, давайте, вернёмся к последовательностям первой группы, назовите ещё раз их общий признак. (Слайд 11)
(Каждый следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа или два соседних члена отличаются на одно и тоже число).
Это число назвали разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d.
- Обсудите в группах и запишите в черновик определение арифметической прогрессии. Что у вас получилось?
(После того, как прочитают все группы)
Откройте учебник на странице 145 и сверьте записанное вами определение с тем, какое приводят авторы учебника. (Прочитать вслух.)
Определение.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии.
-Запишите его в тетрадь.
- Скажите, чьи определения были точнее?
Фронтальная работа.
Что означает фраза: «Запиши на языке математики»? (Записать с помощью специальных обозначений)
Для обозначения арифметической прогрессии словосочетание «арифметическая прогрессия» заменяют значком
и пишут:
. (Записать на доске)
Работа в группах. 4 группы. Приложение 2.
Посмотрите внимательно на эти последовательности и ответьте на вопросы (Слайд 12):
Какие из этих последовательностей являются арифметическими прогрессиями и почему?
Назовите первый член и разность арифметической прогрессии.
Назовите возрастающие и убывающие прогрессии.
Выясните, при каком условии прогрессия возрастает или убывает? Сделайте вывод.
(an): 0, 2, 4, 6, 8, …
(bn): 1, 2, 3, 5, 8, …
(cn): -7, -10, -13, -16…
(dn): 5, 5, 5, 5, 5, …
(хn): 3, 5, 7, 9, 6, …
(кn): - 8; -4; 0; 4; 8, …
Проверка по образцу. (Слайд 13) Каждая группа отвечает на один из вопросов.
Ответ:
(an), (cn), (кn), (dn) - арифметические прогрессии
2) (an) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = 0, d =2;
(cn) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = -7, d =-3;
(кn) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = -8, d =4;
(dn) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = 5, d =0.
(an). (кn) – возрастающие прогрессии
(cn) – убывающая прогрессия
Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d 0 и убывающей, если d
(Оценить работу в группе) Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2-3 ошибки – «3», больше 3 ошибок – «2».
- Кто выполнил всё верно? У кого были ошибки? У кого есть вопросы по этому заданию, что не понятно?
- Молодцы, вы преодолели следующий этап.
- Чтобы продолжить путь предлагаю решить задачу (Слайд 14). Обсудите её решение в парах.
Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. Какова будет продолжительность ванны на 5 день лечения? (15, 20, 25, 30, 35)
Как вы решили эту задачу? (прибавляли по 5 и взяли пятое число или записали арифметическую прогрессию и взяли пятый член)
- Кто верно решил задачу? Поднимите руки.
Как поступить, если потребуется узнать продолжительность процедуры через месяц лечения? (Аналогично)
Проблема.
- А как упростить решение этой задачи? Что позволяет сразу находить любой член последовательности.
(Эту задачу можно решить быстрее, если удастся найти формулу n-го члена, т. е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии.)
- Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Для этого рассмотрите арифметическую прогрессию с разностью d, заполните пропуски, выявите закономерность и запишите формулу. Групповая работа. Раздать задания. Приложение 3.
,
,
,
,
, и т.д.
Догадайтесь, как найти аn.
Проверьте, что получилось. (Слайд 15)
Оцените свою работу согласно критериям. ( Задание выполнено верно – «5», допущена ошибка в записи формулы – «4», допущена ошибка в заполнении пропусков – «3», допущена ошибка в заполнении пропусков и неверно записана формула «2»)
,
,
,
,
, и т.д.
Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Запишите её в тетрадь.
- Кто справился с заданием? У кого были ошибки? Где ошиблись?
Важное замечание! «Догадками » математики пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Доказательство этого факта можно посмотреть дома в учебнике.
4. Этап конструирования.
(Слайд 16)
Какие задачи можно решать, используя формулу an = a1 + d (n-1).
(Найти 
, 
, d , n)
Вернёмся к нашей задаче. Как перевести её условие на математический язык? Что известно в задаче? (а1= 15, d = 5)
Что нужно найти? (а30 или а31 в зависимости от того сколько в месяце дней)
- Запишем решение задачи в тетрадь при условии, что в месяце 30 дней.
Показать оформление. (Слайд 17)
Дано: а1= 15, d = 5.
Найти: а30.
Решение: а30 = а1 +(30 – 1) d = 15 + 29*5 = 15 + 145 = 160
Ответ: а30 = 160.
- Как найти из формулы n-го члена , d , n? (Работа в группах)
1 группа 
,
2 группа 
,
3 группа 
, .
4 группа . (Более сильная)
В арифметической прогрессии некоторые члены отсутствуют:
-6; а2; 9; а4; 24
Можно ли восстановить пропущенные числа? Если возможно, то выявите закономерность, найдите пропущенные числа и сделайте вывод. Найдите разность арифметической прогрессии.
(а2 = 1,5; а4 = 16,5; d = 7,5
а1; а2; а3; а4;… аn – 1; an; an + 1; … аn = an – 1 + an + 1
2
Каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.)
Проверим работу 4 группы. http://fcior.edu.ru/card/1997/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-svoystvo-arifmeticheskoy-progressii-i1.html ( 8-11 кадр) Интернет-ресурс.
- Проверим, что у вас получилось.
Отчёт групп, результаты записывают в тетрадь. (Слайд 18)
. Оцените свою работу. (Принимал активное участие в работе группы и получил верный результат – «5», принимал участие в работе группы, но не всегда предлагал верные решения – «4», иногда принимал участие в обсуждении, не все предложения были верными – «3», не принимал участия в работе группы – «2»)
Кто получил «5», у кого «4». Молодцы, вы преодолели ещё один этап и теперь имеете весь необходимый инвентарь для дальнейшего продвижения, нужно только правильно им пользоваться.
Работа в группах.
Заполните таблицу. (Слайд 19)
| аn | a1 | d | n |
| ? | 10 | 4 | 6 |
| 53 | ? | 11 | 4 |
| 50 | -2 | ? | 9 |
| 33 | 43 | -2 | ? |
Проверить, оценить. (Слайд 20)
Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2 ошибки – «3», больше 2 ошибок – «2».
| аn | a1 | d | n |
| 30 | 10 | 4 | 6 |
| 53 | 20 | 11 | 4 |
| 50 | -2 | 6,5 | 9 |
| 33 | 43 | -2 | 6 |
- Дальше подъём каждый будет продолжать самостоятельно. Для этого вам нужно выполнить задания на компьютере.
http://fcior.edu.ru/card/12461/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-formula-n-ogo-chlena-arifmeticheskoy-progressii-p1.html
Оценка. Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2 ошибки – «3», больше 2 ошибок – «2».
5. Этап рефлексии.
В начале урока вы ставили цель и задачи. Теперь подведём итоги и выясним все ли задачи были решены?
(Слайд 21)
Изучить определение арифметической прогрессии.
Научиться определять является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет.
Изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии.
Научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.
- А как по вашему, справилась ли я со своей задачей?
| - Трудным ли для вас было покорение новой математической вершины? Я хочу узнать, где вы находитесь – по-прежнему у подножия горы, на середине пути или на вершине, поставьте флажок на трансфертных листах. - Спасибо за урок. Я хочу подарить вам закладки на память о нашем плодотворном сотрудничестве и пожелать дальнейших успехов в покорении математических вершин. (Приложение 5) |
Домашнее задание. (Слайд 23)
1 уровень. § 16 пункт 1, 2, 4, № 16.3(а, в), 16.4(а, б),
2 уровень . § 16 пункт 1, 2, 4, № 6.5(а), 16. 7(г),
2 уровень . § 16 пункт 1, 2,4, 16. 17(в), 16. 18 (в)
Дополнительная задача. (Мотивация на следующий урок «Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.)
Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3 м². Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м² больше, чем в предыдущий. Сколько м2 уложат студенты за 15 дней?
Список литературы:
А. Г. Мордкович. Алгебра - 9.Учебник, М.: Мнемозина, 2007.
А. Г. Мордкович. Алгебра - 9.Задачник, М.: Мнемозина, 2007.
Александрова Л. А. Алгебра. 9 класс. Самостоятельные работы для общеобразоват. учреждений. Учеб. Пособие под ред. А. Г. Мордковича.- М.: Мнемозина, 2004.
А. Г. Мордкович. Алгебра 7-9.: Методическое пособие для учителя.- М.: Мнемозина, 2004
Занина О. В.,Данкова И. Н. поурочные разработки по алгебре к учебному комплекту А. Г. Мордковича: 9 класс. – М.:ВАКО,2007.
Г.А. Игнатьева, М.Н. Крайникова и др. Проектирование и сценирование инновационных форм учебных занятий в условиях введения ФГОС общего образования: Методические рекомендации.-Нижний Новгород:НИРО, 2013.
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
