Конспект урока "Параллелепипед"

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Тема «Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Куб»

Цели урока:

• Рассмотреть понятие параллелепипеда и его видов;

• закрепить знания о свойствах при решении задач обязательного уровня;

Обучающие:

• рассмотреть понятие параллелепипеда и его видов;

• доказать свойства параллелепипеда;

• дать определение прямоугольного параллелепипеда и доказать его свойство диагоналей;

• рассмотреть примеры применения свойств в решении задач;

Развивающие:

• способствовать развитию внимания, умений сравнивать, классифицировать, выделять главное;

• переносить знания в новую ситуацию;

• анализировать условие задачи;

• логического мышления, математической речи;

Воспитательные:

• содействовать воспитанию интереса к математике;

• содействовать воспитанию графической культуры;

• содействовать воспитанию культуры речи учащихся, умения общаться.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: учебник А. В. Погорелова «Геометрия 10-11», модели геометрических тел, раздаточный материал: таблица сравнения параллелепипедов.

План урока:

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

3. Изучение нового материала

4. Первичное закрепление знаний

5. Подведение итогов

6. Домашнее задание

Ход урока:

1. Организационный момент

Проверка готовности помещения к уроку, приветствие учеников, проверка посещаемости.

1. Актуализация знаний

На предыдущих уроках мы знакомились с многогранниками – представителями геометрических тел, а именно с призмой. Сегодня продолжаем изучение призм, подробнее изучим знакомый из школьного курса математики параллелепипед, предварительно вспомнив главное о призме.

Что называют призмой? (Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников).

Среди представленных моделей выберите призмы (Учащиеся выбирают призмы, оставляя пирамиды и тела вращения).

Показываю учащимся модель призмы и прошу рассказать как изобразить эту призму на листе в тетради.

Расскажите алгоритм построения призмы? (В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями).

Разделите призмы на две группы, предварительно выбрав основание классификации Обсудив, что можно выбрать в качестве основания для классификации, выбираем многоугольник, лежащий в основании. Учащиеся выбирают группу моделей, в основании которых лежит параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат).

На какие еще группы можно еще разделить выбранные модели? ( Прямые и наклонные)

1. Изучение нового материала

Перейдем к изучению новой темы: Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Куб.

Разделив модели, мы получили различные параллелепипеды.

Сформулируем определение параллелепипеда.

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

Сформулируем определение прямоугольного параллелепипеда.

1. Через прямой параллелепипед: Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, у которого в основании прямоугольник

2. Через параллелепипед: Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, который является прямым, а в основании лежит прямоугольник

3. Через призму: Прямоугольный параллелепипед – это четырехугольная призма, которая является прямой, в основании которой лежит прямоугольник.

Дадим различные определения куба.

1. Через прямоугольный параллелепипед: Куб – это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

2. Через параллелепипед: Куб - это параллелепипед, у которого все грани квадраты.

3. Через призму: Куб – это четырехугольная призма с равными ребрами.

Ребята! При решении задач очень важно правильно истолковать условие задачи, а именно хорошо понимать, о каком параллелепипеде идет речь. Предлагаю заполнить такую сравнительную таблицу: самостоятельно( в парах) с последующей проверкой.

Сравнительная характеристика параллелепипеда и прямоугольного параллелепипеда:

1. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед, основание - параллелограмм

Доказать: ADD₁A₁=CBB₁C₁, ADD₁A₁||CBB₁C₁

Предложить провести доказательство учащимся. Если есть варианты доказательств, то заслушать их. Если полных версий нет, то проводится беседа, после чего излагается полное доказательство.

Д оказательство: Рассмотрим две противолежащие грани параллелепипеда. Так как все грани параллелограммы, то AD||BC, AA₁||DD₁, следовательно, плоскости граней параллельны. Так как грани параллелограммы, то AB, A₁B₁, D₁C₁, DC параллельны и равны, значит грани равны.

2.Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Предложить провести доказательство учащимся. Если есть варианты доказательств, то заслушать их. Если полных версий нет, то проводится беседа, после чего излагается полное доказательство.

Учащиеся делаются рисунок в тетради, один ученик выходит к доске. Ученики строят параллелепипед. Далее проводятся две пересекающиеся диагонали параллелепипеда. Раз прямые пересеклись, значит, они задают плоскость (две пересекающиеся прямые задают плоскость). Достраиваем рисунок до сечения. В сечении получился параллелограмм. А в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Т еперь мы рассмотрим теорему, справедливую только для прямоугольного параллелепипеда.

Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед; основание – прямоугольник

x, y, z - три его измерения.
Доказать:
Квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений
(AC₁²=CC₁²+AB²+BC²)

П редложить провести доказательство учащимся. Если есть варианты доказательств, то заслушать их. Если полных версий нет, то проводится беседа, после чего излагается полное доказательство. Доказательство:
1) AB, CB, CC₁ - ребра. Их длины являются линейными размерами параллелепипеда. AB = x, CC₁ = y, BC = z
2) Рассмотрим DAC₁C: ÐC₁CA = 90° т.к. СC₁^ABCD, Þ CC₁^ ACÌ(ABCD)
По теореме Пифагора: AC₁² = AC² + AC₁²
3) Рассмотрим DABC: ÐCBA = 90° (ABCD - прямоугольный по условию )
По теореме Пифагора: AC² = BС² + AB²
AC₁²=CC₁²+AB²+BC²

Сформулировать теорему для куба: d²=3a².

1. Первичное закрепление знаний

А сейчас переходим к решению задач по теме «Параллелепипед».

Задача, на применение свойств параллелепипеда.

№ 26. У параллелепипеда три грани имеют площади 1м², 2 м², 3м². Чему равна полная поверхность параллелепипеда?

Решение:

У параллелепипеда противоположные грани равны, а значит, имеют равные площади. Так что данный параллелепипед имеет две грани с площадью 1м², две грани с площадью 2м² и две грани с площадью по 3м². Так что площадь полной поверхности S=2*(1+2+3)=12(м²)

Ответ: 12 м²

№29. В прямом параллелепипеде стороны оснований 6 м и 8 м образуют угол 30^о, боковое ребро равно 5м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.

Решение:

Полная поверхность прямого параллелепипеда равна S_полн=2S_осн+S_бок

Площадь параллелограмма ABCD , являющегося основанием , равна S_осн=AB*AD*sin30^o=6*8*1/2=24

Площадь боковой поверхности равна S_бок=p*l=2(AB+BC)AA₁=2*(6+8)*5=140

Так что S_полн=2*24+140=188

Ответ:188

1. Подведение итогов

Понятия параллелепипед и прямоугольный параллелепипед вам известны из предыдущего курса математики и из жизненной практики. Какие их свойства вам были уже известны (без доказательства), а о каких вы узнали впервые? (Учащиеся формулируют свойства граней, а в качестве нового формулируют свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда).

Давайте с вами составим синквейн на тему «Параллелепипед» как итог нашего урока.

Пример:

1. Параллелепипед

2. Прямоугольный, прямой.

3. Строить, вычислять, сравнивать.

4. Я узнал о параллелепипеде.

5. Призма

1. Домашнее задание

п.45, п.46, задачи: 30,37.