Конспекти з геометрії за 7 клас

Коло – це фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддале-них від даної точки. Цю точку називають центром кола.(Точка О)

Радіусом (R або r) називається відрізок, який сполучає будь-яку точку кола з його центром.

Хордою називається відрізок, який сполучає дві довільні точки кола.

Діаметром (D або d)називається хорда, яка проходить через центр кола.

Формули довжини кола C = 2 або C =

Кругом називається об’єднання кола з його внутрішньою областю.

Круг – це геометричне місце точок площини, відстань яких від даної точки, що називається центром, не більше даної відстані, яка називається радіусом.

Радіусом (R або r) називається відрізок, який сполучає будь-яку точку кола, що обмежує круг, з його центром.

ОА – радіус круга

Хордою називається відрізок, який сполучає дві довільні точки кола, що обмежує круг.

Діаметром (D або d)називається хорда, яка проходить через центр круга.

Формула площі круга

S = R²

Дотичною до кола називають пряму, яка має з колом тільки одну спільну точку.

Пряма а – дотична до кола.

Точка А – точка дотику.

Січною називають пряму, яка має з колом дві спільні точки.

Пряма b – січна.

Пряма b має з колом дві спільні точки

В і С.

Дотична до кола перпендикулярна до його радіуса, проведеного в точку дотику.

Якщо а – дотична до кола з центром О, радіусом ОА,

А – точка дотику, то а АО.

Якщо з однієї точки до одного кола проведено дві дотичні, то відрізки дотичних рівні між собою.

АВ і АС – дотичні, проведені до кола з точки А, тоді АВ = АС

Діаметр дорівнює двом радіусам. D = 2R

Радіус дорівнює половині діаметра. R = D

Діаметр кола, який проходить через середину хорди, перпендикулярний до неї.

АМ = МВ, тоді СD АВ

Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, поділяє цю хорду навпіл.

СD АВ, тоді АМ = МВ

Рівні хорди рівновіддалені від центра кола.

Хорди рівновіддалені від центра кола рівні.

Якщо СD = АВ, тоді ОМ = ОN

Якщо ОМ = ОN, тоді СD = АВ

Якщо кола не перетина-ються і мають зовнішнє розташування, то відстань

між центрами кіл більше від суми їх радіусів: О₁О₂ R₁ + R₂

Якщо кола не перетина-ються і мають внутрішнє розташування, то відстань

між центрами кіл менше від різниці їх радіусів:

О₁О₂ R₁ – R₂

Якщо кола перетинаються, то відстань між центрами кіл менша від суми їх радіусів: О₁О₂ R₁ + R₂

Зовнішній дотик

Дотик кіл вважають зовнішнім, якщо їхні центри

лежать з різних боків від спільної дотичної, проведеної в точку дотику.

Відстань між центрами кіл при зовнішньому дотику дорівнює сумі радіусів:

О₁О₂ R₁ + R₂

Внутрішній дотик

Дотик кіл вважають внутрішнім, якщо їхні центри

лежать з одного боку від їх спільної дотичної, проведеної в точку дотику кіл.

Відстань між центрами кіл при внутрішньому дотику дорівнює різниці радіусів : О₁О₂ R₁ – R₂

Концентричними колами називаються кола однієї площини, які мають спільний центр та радіуси різної довжини.

Геометричне місце точок (ГМТ)— це фігура, що складається з усіх точок площини, що мають певну властивість

Для знаходження геометричного місця точок, що мають певну властивість, необхідно довести, що:

• якщо точка належить фігурі, то вона має дану властивість,

• якщо точка площини має дану властивість, то вона належить фігурі.

Серединним перпендикуляром данного відрізка називають пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка, є його серединний перпендикуляр.

Геометричним місцем точок кута, рівновіддалених від його сторін, є бісектриса цього кута.

Коло – геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки.

Круг – це геометричне місце точок площини, відстань яких від даної точки не більше даної відстані.

Геометричним місцем точок, віддалених від заданої прямої на задану відстань, є дві прямі, паралельні заданій прямій, які знаходяться на зазначеній відстані від неї.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих, є пряма, паралельна заданим прямим, що проходить через середину їхнього спільного перпендикуляра.

Кільце – геометричне місце точок для яких виконується нерівність

r OX R.

Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі вершини трикутника.

Навколо кожного трикутника можна описати коло. Його центром є точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника.

1.Серединні перпендикуляри до всіх сторін довільного трикутника проходять через одну й ту саму точку.

2. Через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести коло, і тільки одне.

Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, знаходиться усередині трикутника.

Теорема. Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи.

Наслідок. Діаметр кола, описаного навколо прямокутного трикутника дорівнює його гіпотенузі.

Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника, знаходиться поза трикутником.

Центр кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, належить прямій, яка містить медіану, висоту і бісектрису, що проведені з вершини до основи.

Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх сторін трикутника.

В кожний трикутник можна вписати лише одне коло. Центром кола, вписаним в трикутник, є точка перетину його бісектрис, яка лежить усередині трикутника.

За властивістю дотичних, проведених з однієї точки, точки дотику вписаного кола до сторін трикутника відтинають від його сторін три пари рівних між собою відрізків: ВМ = ВN, NC = CР,

AР = AM.

Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, належить медіани, висоті і бісектрисі, що проведені з вершини до основи.

Центри кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, і кола, вписаного в нього, збігаються. Це точка перетину висот, медіан, бісектрис рівностороннього трикутника.

Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, з катетами а і b та гіпотенузою с обчислюється за формулою

.

Коло, вписане в різносторонній трикутник

Коло, вписане в рівнобедрений трикутник

Коло, вписане в рівносторонній трикутник

Коло, вписане в прямокутний трикутник