Координатный метод. Часть 4

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.

a

a

b

a

b

cos ( )

b

=

Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скаляр – лат. scale – лестница, шкала.

Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик.

5

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством, то есть

2. Скалярное произведение обладает распределительным свойством, то есть

3. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно

числового множителя, то есть

6

Свойства скалярного произведения векторов

4. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. То есть

5. Скалярное произведение одноименных ортов равно единице

6

Свойства скалярного произведения векторов

6. Скалярное произведение разноименных ортов равно нулю.

7. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:

6

Свойства скалярного произведения векторов

8. Угол между двумя векторами:

9. Если , то

10. Проекция вектора а на вектор b

6

Свойства скалярного произведения векторов

Следствие свойства 4 – с калярный квадрат вектора равен квадрату его модуля

8. Угол между двумя векторами:

9.

6

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый.

6

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой.

Скалярное произведение ненулевых сонаправленных векторов равно произведению длин этих векторов.

6

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение ненулевых противоположно направленных векторов равно произведению длин этих векторов, взятых со знаком минус.

6

Пример 14

Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и

N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что

A

M

D

B

N

C

6

Решение.

A

Проведем в основании BCD DN – медиана (по условию задачи) и в боковой грани АВС AN – медиана (по условию задачи). Все ребра тетраэдра равны между собой, следовательно, и все грани также равны друг другу, а, значит и медианы всех треугольников также равны. Т.о.

M

D

B

N

C

равнобедренный. Т.к. М – середина AD (по условию задачи), то MN – медиана, а значит и высота, т.е.

ч.т.д

15

Пример 15

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — куб, AB = a . Вычислите скалярное произведение векторов:

AD · B 1 C 1 В A 1 · В C 1

D 1

C 1

А 1

B 1

D

C

B

А

16

Решение.

D 1

C 1

а 2

а

А 1

B 1

Треугольник BA 1 C 1 правильный. Стороны его равны как диагонали равных квадратов:

D

C

а

B

А

а

17

Пример 16

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , DA =1, DC =2, DD 1 =3. Найдите угол между прямыми CB 1 и D 1 B .

D 1

C 1

А 1

B 1

D

C

B

А

Решение.

Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. Как было отмечено ранее

19

z

Введём систему координат Dxyz . Рассмотрим векторы

CB 1 и D 1 B .

D 1

C 1

А 1

D 1 (0; 0; 3), B (1; 2; 0)

B 1

3

D 1 B (1; 2; – 3)

C (0; 2; 0), B 1 (1; 2; 3),

C

2

СВ 1 (1; 0; 3)

y

1

D

А

B

D 1 B · CB 1

cos(D 1 B , CB 1 )=

x

D 1 B · CB 1

D 1 B (1; 2; – 3)

СВ 1 (1; 0; 3)

D 1 B · CB 1 =?

D 1 B = ?

СВ 1 = ?

21

СВ 1 (1; 0; 3)

D 1 B (1; 2; – 3)

D 1 B · CB 1 =1·1+0 ·2+3 ·(-3)=-8

D 1 B = √ 1 2 +2 2 +(-3) 2 = √ 14

CB 1 = √ 1 2 +0 2 +3 2 = √ 10

8

8

cos(D 1 B , CB 1 )= =

√ 14 · √ 10

2 · √ 35

4

cos(D 1 B , CB 1 )=

(D 1 B , CB 1 ) 47 0

√ 35

22

Пример 17

О

Дана правильная пирамида, сторона основания которой

a = . Высота пирамиды ОК=2.

Найдите угол между

боковым ребром пирамиды

и плоскостью ее основания.

2

C

B

К

A

D

23

Решение.

О

Будем искать угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью ее основания, как угол между СО и СК.

Длина вектора СК – радиус описанной окружности около АВСD – квадрата, следовательно

2

B

C

К

A

D

24

О

Т.о. длина СК равна длине ОК, следовательно треугольник ОСК – равнобедренный, а значит искомый угол равен 45 0 .

2

B

C

К

A

D

25

Вопрос 1:

Как называется этот многогранник?

D 1

C 1

А 1

B 1

а

D

C

а

B

А

а

26

Вопрос 2:

Как называется BD 1 ?

D 1

C 1

А 1

B 1

D

C

B

А

27

Вопрос 3:

Как называется CB 1 ?

D 1

C 1

B 1

А 1

D

C

B

А

28

Прямые не пересекаются и не параллельны — такие прямые называются скрещивающимися .

α

a

β

b

29

Теорема . Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

a

α

b

30

Пример 18

Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°.

D 1

C 1

А 1

B 1

D

C

B

А

31

Решение.

D 1

В качестве первой прямой возьмем, например, диагональ куба – BD 1 .

В качестве второй прямой возьмем диагональ грани СС 1 В 1 В, которая не имеет общих точек с BD 1 – СВ 1 .

C 1

А 1

B 1

D

C

B

А

32

Пусть ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — куб с ребром a.

D 1

C 1

Если прямые BD 1 и СВ 1 перпендикулярны, то вектора BD 1 и СВ 1 - ортогональны.

А 1

B 1

D

C

По свойствам скалярного произведения:

B

А

BD 1 · СВ 1 0

BD 1 СВ 1

33

D 1

C 1

Найдем BD 1 :

BD 1 =BD+DD 1 , а DD 1 =BB 1 , следовательно BD 1 =BD+ВВ 1

А 1

B 1

ВD=BA+BC, тогда

D

C

BD 1 =BA+BC+ВВ 1

B

А

34

D 1

C 1

Найдем СВ 1 :

А 1

B 1

СВ 1 =BB 1 -BC

BD 1 · СВ 1 0

D

C

BD 1 СВ 1

B

А

BD 1 =BA+BC+ВВ 1

Тогда, т.к.

(BA+BC+ВВ 1 ) ·

BD 1 · СВ 1

(ВВ 1 -ВС)

35

BD 1 · СВ 1

BA · BB 1 -BA ·BC+BC ·BB 1 -BC ·BC+BB 1 ·BB 1 -BB 1 ·BC

D 1

BA и BB 1 , ВА и ВС, ВС и ВВ 1 – ортогональны, т.к. лежат на гранях куба, следовательно их скалярное произведение равно нулю. Тогда

C 1

А 1

B 1

D

C

B

А

BD 1 · СВ 1 - BC + BB 1

2

2

Т.к. все ребра куба – равны а, то

Ч.Т.Д.

36

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость – угол АВК

А

В

К

37

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

с

b

а

α

a c и b c c

37

Пример 19

Дана пирамида с вершиной в точке D(1;10;8), основание которой – треугольник, построенный на векторах АВ и АС. Докажите, что ребро AD перпендикулярно основанию АВС. Найдите объем пирамиды.

Решение.

Выполним чертеж: D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)

z

D

B

O

y

A

x

C

Для того, чтобы доказать, что боковое ребро AD перпендикулярно основанию АВС, нам необходимо доказать, что вектор AD ортогонален векторам АВ и АС

41

D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)

АD · АВ 0

АD АВ

АD · АВ =0·2+8 ·(-4)+8 ·4=0

41

D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)

АD · АС 0

АD АС

АD · АС =0·2+8 ·4+8 ·(-4)=0

Итак АD ортогонален и вектору АВ и вектору АС, следовательно он ортогонален плоскости основания.

43

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Мы доказали, что AD – высота нашей пирамиды.

Найдем площадь основания по формуле Герона:

44

D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)

ВС(3-3;6+2;-4-4) ВС (0;8;-8)

Найдем длины этих векторов:

44

46

46