Координатный метод (презентация)

Координатный метод

Стереометрия – профиль (№14).

Координатный метод - теория

• Скалярное произведение векторов(определение):
• Свойства скалярного произведения (2)
• Формула скалярного произведения в координатах.
• Алгебраические свойства скалярного произведения.
• Формула косинуса угла между двумя векторами по определению
• Формула косинуса угла между двумя векторами в координатной системе.

Координатный метод - теория

• Направляющий вектор прямой
• Косинус угла между двумя прямыми, если известны координаты направляющих векторов.

Задача №1

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F₁ стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.

Докажите, что прямые СА ₁ и С ₁D ₁ перпендикулярны.

z

F 1

E 1

A 1

D 1

F

E

D

А

y

C

B

x

ЕГЭ – 2017 №14

Дана прямая треугольная призма  ABCA 1 B 1 C 1 , в основании треугольник АВС, угол С = 90° ВАı=15, ВСı=9, АВ = 13 .

А) Докажите, что треугольник АıСıВ прямоугольный.

Б) Найдите объём пирамиды СıАıАВ

Ответ: а)

12.03. 2013 . ЕГЭ – 2012 С2

В правильной треугольной призме  ABCA 1 B 1 C 1 , все рёбра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ и A 1 C .

Ответ:

Координатный метод - теория

• Уравнение плоскости.
• Вектор, перпендикулярный плоскости.
• Угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

Задача №2

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра АВ = 8 , SC = 17 .

Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер SA и BC

Ответ:

arcsin .

z

S

M

A

C

N

x

B

y

ЕГЭ – 2018

Точки М и N лежат на рёбрах соответственно АВ и АıВı параллелепипеда АВСDАıВıСıDı, причём АМ : МВ = ВıN : NАı = 2 : 1; точка К – середина СС ı.

а) Постройте точку пересечения плоскости КМ N с прямой ВıСı.

Б) Найдите угол между прямой ВВı и плоскостью КМN, если параллелепипед прямоугольный, АВ = 3, ВС = 2, ААı = 4.

Б) Возможный эскиз к решению:

z

y

x

Ответ:

Координатный метод - теория

• Уравнение плоскости.
• Вектор, перпендикулярный плоскости.
• Угол между плоскостями.

Задача №3

Ответ: .

В кубе  ABCДA 1 B 1 C 1 Д 1 найти косинус угла между плоскостями

А 1 ВС 1 и AД 1 В .

ЕГЭ – 2012 С2

Дана правильная треугольная призма  ABCA 1 B 1 C 1 , сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани . Найти угол между плоскостью A 1 BC и плоскостью основания призмы .

Ответ 30°

Задача № 14 из ЕГЭ-2017

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F – середина ребра SВ , G – середина ребра SС .

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВG и GDF ;

Б) Найдите угол между плоскостями АВG и GDF .

S

Ответ: arccos 9/11

G

F

C

D

A

B

ЕГЭ - 2013 .

• Боковые ребра пирамиды DABC DA=DB= 3, DС =4. Все углы при вершине пирамиды – прямые. Найдите тангенс двугранного угла при ребре АВ .

Ответ:

ЕГЭ - 2014 .

• Основание пирамиды DABC – равнобедренный треугольник ABC , в котором AB=BC= 13, АС =24. Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 20. найдите тангенс двугранного угла при ребре АС .

Ответ:

ЕГЭ –26.03.2015 - досрочный

Ребро куба ABCDAʹBʹCʹDʹ равно 4. На стороне BBʹ отмечена точка K так, что BK = 3.

Плоскость  проходит через точки C' и K и параллельна прямой BDʹ . Плоскость  пересекает

ребро AʹBʹ в точке P.

а) Докажите, что AʹP : PBʹ = 2 : 1 .

б) Найдите угол наклона плоскости  к грани BBʹCʹC .

D ʹ

C ʹ

Аʹ

P

K

C

D

Ответ: arccos 3/√26

А

В

Координатный метод - теория

• Уравнение плоскости.
• Вектор, перпендикулярный плоскости.
• Угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.
• Расстояние от точки до плоскости.

Задача №4

Ребро SA пирамиды SAВC перпендикулярно плоскости основания АВС.

Найдите расстояние от вершины А до плоскости SВC, если SА = 20, АВ = АС = 17, ВС = 16. .

Ответ: 2,4.