Лекция по тригонометрии №5

Тригонометрические уравнения, их виды и методы решения

Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно, ведь они основа всех наук». Действительно, самые разные процессы описываются с помощью тригонометрических уравнений, в том числе и биологические, например, слух, зрение, восприятие ультрафиолета, передача возбуждения по нервной ткани, работа сердца и мозга, прием и воспроизведение звука и т. д. Сегодня на уроке мы продолжим разговор про тригонометрические уравнения, вспомним про то, что уже знаем и научимся определять и решать уравнения нового типа. Тригонометрия традиционно включается в материалы экзаменов, конкурсов, олимпиад. В связи с этим очень важно научиться решать тригонометрические уравнения, распознавать их виды и правильно определять методы их решения. С этого и начнем. (Стадия вызова)

1. Вопросы по домашнему заданию. Какие способы решения тригонометрических уравнений вы использовали в №199, №200(Проверка у доски, в это время математический диктант)

2 . Математический диктант на знание теоретического материала по предыдущему тригонометрическому теоретическому материалу:

3. На доске написан набор тригонометрических уравнений. Учащимся предлагается прочитав уравнение, определить способ его решения.

Учащиеся называют уравнение и обозначают способ его решения. В результате остаются три уравнения, для которых не подходит ни один из известных студентам способов решения: 2sin х – 3cos х = 0; 3sin²х+sinх cos х=2cos²х; 3sin²х+sinх cos х - 2cos²х = 4

Два первых уравнения в математике называются однородными, а третье – неоднородным, для каждого есть свой способ решения они нам пока не известны но уметь их решать очень важно.

Тригонометрические уравнения, их виды и методы решения

Пятое, восьмое и девятое уравнения решить известными способами не удалось. Что можно сказать о них?

1. Уравнение вида аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;

2. Уравнение вида аsin²х + bsin х cos х + c cos² x = 0 где a 0, b 0, с 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Вообще, однородным относительно sin х и cos х называется уравнение вида а₀sinⁿ х + а₁sin^n-1хcos х+…+а_n-1 sin хcos ^n-1 х+а_ncosⁿх=0, где а₀, а₁, …а_n – действительные числа. Сумма степеней синуса и косинуса в каждом слагаемом левой части одинакова и равна числу n, называемом показателем однородности.

Отличительные признаки однородных уравнений: а) все одночлены имеют одинаковую степень, б) свободный член равен нулю, в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Примеры: - однородное уравнение первой степени; - однородное уравнение второй степени.

При делении уравнения аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются. При делении уравнения аsin²х + bsin х cos х + c cos² x = 0, где a 0, b 0, с 0 на cos² x ≠ 0 корни этого уравнения так же не теряются.

Следовательно, основной способ решения однородных уравнений заключается в делении на старшую степень синуса или косинуса.

Рассмотрим тригонометрическое уравнение второй степени. И предположим обратное. Пусть cosх равен нулю, но тогда в уравнении аsin²х + bsin х cos х + c cos² x = 0 и sinх будет равен нулю, но sinх и cosх одновременно не могут равняться 0, согласно основному тригонометрическому тождеству. Аналогичная ситуация и для однородного тригонометрического уравнения первой степени. Значит, при делении потери корней не происходит, а, следовательно, делить можно.

1. Нужно найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1. sinx = 2cosx – однородное первой степени

2. √3sin3x – cos3x = 0 – однородное первой степени

3. sin²x – 2sinx – 3 = 0 –сводимое к квадратному

4. 2cos²x + 3sin²x + 2cosx = 0 – сводимое к квадратному

5. 6sin²x – cos²x – 5sinxcosx = 0 – однородное второй степени

2. Вернемся к нашим нерешенным уравнениям и попробуем решить их.

1. 2sin х – 3cos х = 0;

2. 3sin²х+sinх cos х=2cos²х.

3. Решите другие однородные тригонометрические уравнения:

1. 3sin² х - 5sin х cos х + 2 cos²х=0

2. sin³ х - sin² х cos х - 4sin х cos² х + 4 cos³х=0

3. 4sin х cos х + 6 cos²х=1(рассмотреть два способа решения)

4. sin х+ cos х=√2

Неоднородные уравнения вида

аsin x + bcos x = k и

аsin²х + bsin х cos х + ccos² x = k решаются приведением к однородному виду путем замены:

k = k*1 = k*(sin²x+cos²x) = k* sin²x + k*cos²x и последующим переносом этих слагаемых в левую часть равенства. Таким образом после приведения подобных слагаемых мы получаем однородное уравнение второй степени, имеющее вид:

(b – k)sin²х + bsin х cos х + (c – k) cos² x = 0,

которое стандартно решается уже разобранным способом.

Итак теперь мы можем решить последнее оставшееся в таблице уравнение и еще одно, очень похожее на него, сделаем это у доски.

1. 3sin²х + sinх cos х - 2cos²х = 4

2. 3sin² х - 5sin х cos х + 2 cos²х = 5

Сегодня вы познакомились с последней темой раздела «Тригонометрия». На следующем занятии будет проводиться итоговое повторение и контрольная работа. Поэтому на дом, кроме теоретических вопросов, рассмотренных по сегодняшней теме, нужно повторить всю теорию раздела и решить следующие уравнения:

1. 

2. 

3. 5sin² x + 3sin x · cos x – 4 = 0.

4. tg² x + 3tg x – 4 = 0.

5. 2 cos(3x – π/4) = -√2

6. Кластер «Тригонометрические уравнения»

Закрепление изученного материала

Пример 1. Найдите корни уравнения   принадлежащие промежутку 

Решение. Используем вторую формулу на рисунке. Здесь и далее полагаем   (на всякий случай, эта запись означает, что числа   и   принадлежат множеству целых чисел):

Арккосинус   есть число, заключенное в интервале от   до  , косинус которого равен  .

Арксинус   есть число, заключенное в интервале от   до  , косинус которого равен  .

Другими словами, нам нужно подобрать такое число из промежутка   косинус которого был бы равен   Это число   Используя это, получаем:  

Задача для самостоятельного решения №1. 

Найдите корни уравнения   принадлежащие промежутку 

Пример 2. Найдите корни уравнения

   принадлежащие промежутку 

Решение. Подобные уравнения решаются один весьма интересным, на мой взгляд, способом. Разделим обе части на  , уравнение тогда примет вид:

Подберем такое число, синус которого равен   а косинус равен   Например, пусть это будет число  . С учетом этого перепишем уравнение в виде:   

Присмотревшись, слева от знака равенства усматриваем разложение косинуса разности   и   Это и есть ключ к решению. Имеем:

Осуществляем отбор решений, входящих в промежуток  :

1)         

2)         

Задача для самостоятельного решения №2.

 Найдите корни уравнения   принадлежащие промежутку 

Пример 3. Дано уравнение 

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезке 

Р ешение. Сразу оговорим ограничения, накладываемые на переменную   в этом уравнении:   Откуда взялось это ограничение? Правильно, функция   не существует при этих значениях   Используем замену переменной:   Тогда уравнение принимает вид:

Переходим к обратной замене:

Осуществляем отбор решений. Проведем его на этот раз с использованием единичной окружности.

Отбор корней с помощью единичной окружности. Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из этих серий:   Обратите внимание на один существенный момент. На рисунке точки   и   принадлежат оси тангенсов, а точки       и   — единичной окружности. Очень важно понимать, зачем это нужно для решения данной задачи.Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №3.

 Дано уравнение 

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 

Ответ:

Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители

Пример 4. Дано уравнение   

a) Решите уравнение.

б ) Укажите корни, принадлежащие отрезку 

Решение. Равносильными преобразования приводим

уравнение к виду:

Осуществляем отбор решений с помощью единичной окружности.

Отбор решений с помощью единичной окружности

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из всех этих серий: 

Задача для самостоятельного решения №4. 

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 

Комбинированные уравнения

При решении уравнений этого типа важно обращать внимание на область допустимых значений входящих в него переменных. Именно поэтому составители вариантов ЕГЭ не просят учеников осуществлять отбор решений из полученных серий ответов. Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции.

Пример 5. Решите уравнение:   

Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

Писать, что   нет никакой необходимости, поскольку по условию это выражение равно выражению   которое, в свою очередь, больше или равно нулю.

Решаем первое уравнение системы:

Нужно, чтобы   поразмыслив, понимаем, что поэтому из полученной серии ответов нам подходят только  Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №5.

 Решите уравнение: 

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Данное уравение равносильно системе:

Тригонометрическая функция синус положительна в первой и второй координатной четвертях, поэтому из полученных серий выбираем только эту: 

Раз уж мы с этим столкнулись, не лишним будет повторить, какие знаки принимают тригонометрические функций в различных координатных четвертях:

Знаки функций, входящих в тригонометрические уравнения, по координатным четвертям

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №6. 

Решите уравнение:

Показать ответ

Пример 7. Решите уравнение:   

Решение. 

Область допустимых значения уравнения определяется условием:   то есть

Разобьем решение на два случая:

1) Пусть   тогда уравнение принимает вид:

Последнее равенство неверно, поэтому в данном случае решений у уравнения не будет.

2) Пусть   тогда уравнение принимает вид:

Условию   удовлетворяет только последняя серия.

Ответ: 

Внеаудиторная самостоятельная работа

Задача для самостоятельного решения №7. 

Решите уравнение: