Презентация к уроку геометрии "Двугранный угол"

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ

Основные задачи урока:

• Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла
• Рассмотреть задачи на применение этих понятий

Определение:

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.

Определение двугранного угла

.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями .

Общая граница этих полуплоскостей – ребром двугранного угла.

ребро

грани

Обозначение двугранного угла.

С

D

В

А

Угол CBDA

В обыденной жизни, форму двугранного угла имеют

• Укажите все двугранные углы

Примеры двугранных углов:

Аналогично тому , как и на плоскости , в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы.



β

β

а

β 1



γ

 1

а

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

AF ⊥ CD

BF ⊥ CD

AFB -линейный угол двугранного угла ACDВ

все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1 . Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1 , поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены.

Следовательно, ∠ АОВ= ∠ А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Способ нахождения (построения) линейного угла.

1 . Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного угла

2. В гранях найти направления ( прямые) перпендикулярные ребру

3. (при необходимости) заменить выбранные направления параллельными им лучами с общим началом на ребре двугранного угла

При изображении сохраняется параллельность и отношение длин параллельных отрезков

Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

A

A 1

O

O 1

B

B 1

Линейным углом двугранного угла называется сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру.

С

О

В

А

D

Угол между плоскостями

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Задача 1:

В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1 .

Задача 2:

В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1 .

Ответ

Задача 3:

В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1 .

Ответ

Задача 4:

В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1 .

Ответ

ЗАДАЧА № 1

Дано:

КМРТ-тетраэдр

Δ ТМК правильный

РТ  МКТ

Указать:

Линейные углы для двугранных углов :

РТМК

РМКТ

РКТМ

Р

В

┌

К

Т

А

M

Ребро ТМ , грани МРТ и МТК

В грани МРТ : РТ  ТМ ( по определению а  )

В грани МТК : КА  ТМ, где А  середина ТМ ( по свойству р/с Δ )

ВА  РТ, РТ  ТМ ВА  МТ ( по лемме о связи  и  )

Ответ:  ВАК  искомый

ЗАДАЧА № 2

Дано:

КМРТ-тетраэдр

Δ ТМК правильный

РТ  МКТ

Указать:

Линейные углы для двугранных углов :

РТМК

РМКТ

РКТМ

Р

┌

Т

К

C

M

Ребро МК , грани КМР и КМТ

В грани КМР : РС  КМ, где С - середина КМ ( по свойству р/с Δ)

В грани КТМ : ТС  КМ, где С - середина КМ ( по свойству р/с Δ)

Ответ:  РСТ- искомый

14

ЗАДАЧА № 3

Дано:

КМРТ-тетраэдр

Δ ТМК правильный

РТ  МКТ

Указать:

Линейные углы для двугранных углов :

РТМК

РМКТ

РКТМ

Р

F

D

┌

Т

К

M

Ребро КТ , грани КТР и КМТ

В грани КТР : РT  КT ( по определению а  )

В грани КТМ : МD  КT, где D  середина КТ ( по свойству р/с Δ)

FD  PT, РT  КT  FD  КT ( по лемме о связи  и  )

Ответ:  FDM  искомый

14

Задача 5:

В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями

BC 1 D и BA 1 D .

Решение:

Пусть О – середина ВD. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 ВDС 1 .

Задача 6:

В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠DMB – линейный угол двугранного угла BACD.

Решение:

Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM ⊥AC и DM⊥AC и, следовательно, ∠DMB является линейным углом двугранного угла DACB.

Задача 7:

Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1 . Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ=2, ∠ВАС=150 0 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 45 0 .

Решение:

• АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС.

ВК – расстояние от точки В до АС.

ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α

2) Так как АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теореме , обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ∠ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ∠ВКВ 1 =45 0 .

3) ∆ВАК :

∠ А=30 0 , ВК=ВА·sin30 0 , ВК =1.

∆ ВКВ 1 :

ВВ 1 =ВК·sin45 0 , ВВ 1 =