Задание №8 "Применение производной к исследованию функций"

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−8; 3).

1. Найдите количество точек, в которых производная функции f (x) равна 0.

2. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 18.

Ответ. 5

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 5). В какой точке отрезка [0;4] f(x) принимает наименьшее значение?

1. Отметим отрезок [0;4]

2. Производная положительная – функция возрастает.

3. Наименьшее значение принимает в точке 0.

Ответ. 0

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 3). В какой точке отрезка [−4;−1] f(x) принимает наибольшее значение?

1. Отметим отрезок [−4;−1]

2. Производная отрицательная – функция убывает.

3. Наибольшее значение принимает в точке -4.

Ответ. -4

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11;3). Найдите количество таких чисел x_i, что касательная к графику функции f(x) в точке с абсциссой x_i параллельна прямой y = 3x − 11 или совпадает с ней.

y = 3

y = 3x – 11

y = 3

Ответ. 6

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 3). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f (x) параллельна прямой y = 2x+7 или совпадает с ней.

y’ = 2

1. Найдем производную

y = 2x+7 y = 2

1. Проведем прямую y = 2

2. Найдем абсциссу (х) точки пересечения прямой с графиком производной

Ответ. -1

На рисунке изображен график функции f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой 4, проходит через начало координат. Найдите f (4).

6

1. Проходит через начало координат – точка (0;0)

2. Абсцисса 4 – находим ординату = 6 – точка (4;6)

3. Воспользуемся формулой

Ответ. 1,5

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−8;3). Определите количество целых чисел x_i, для которых f (x_i) отрицательно.

1. Производная отрицательная, если функция убывает.

2. Сосчитаем количество целых чисел x_i (y_i может быт не целым числом)

Ответ. 4

На рисунке изображен график y =F(x) одной из первообразных некоторой функции f, определенной на интервале (−6;8).

1. Определите количество целых чисел x_i, для которых f (x_i) положительно.

1. Найдите количество точек, в которых f (x)=0.

Функция – производная

Первообразная - функция

Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции y = f(x). Найдите f (1).

1. Найдем целые координаты двух любых точек.

2. Например, (1;3) и (-1;5)

3. Воспользуемся формулой

Ответ. -1

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7;5). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [−6;4].

1. Отметим отрезок [−6;4].

2. Экстремум – точки максимум и минимум (производная меняет знаки с «+» на «-» или с «-» на «+». 3. Найти точку – определить x.

Ответ. -3

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−3;8). Найдите количество точек максимума функции f (x), принадлежащих отрезку

[−2; 7].

1. Отметим отрезок [−2;7].

2. Точка максимум функции – производная меняет знак с «+» на «-». Таких точек 2.

Ответ. 2

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−13;8). Найдите количество точек минимума функции f (x), принадлежащих отрезку [−8; 6].

1. Отметим отрезок [−8;6].

2. Точка минимум функции – производная меняет знак с «-» на «+». Таких точек 2.

Ответ. 2

На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [−9; 7].

1. Отметим отрезок [−9;7].

2. Отметим точки, где производная меняет знаки. Таких точек 4.

Ответ. 4

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−3;8). Найдите промежутки убывания функции f (x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

1. Функция убывает – производная меньше нуля (отрицательная).

2. Отметим промежутки – их два: [−1,5; 4,5] и [6,5; 8).

3. Целые числа, входящие в эти промежутки — это

−1; 0; 1; 2; 3; 4; 7 (значения х).

1. Искомая сумма равна −1+0+1+2+3+4+7=16.

Ответ. 16

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11;3). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

1. Функция возрастает – производная больше нуля (положительная).

2. Отметим промежутки – их три: (−11;−10], [−7;−1] и [2;3)

3. Наибольшую длину имеет промежуток [−7;−1] - длина равна 6.

Ответ. 6

Прямая y=4x +13 параллельна касательной к графику функции y = x²−3x +5. Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

1. y=4x +13, y=4

y = x²−3x +5, y = 2x−3

1. 2x−3 = 4

x = 3,5

Ответ. 3,5

Прямая y= 2x + 37 является касательной к графику функции y = x³+3x²−7x +10. Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

1. y= 2x + 37, y=2

y = x³+3x²−7x +10, y=3x²+6x-7

1. 3x²+6x-7 = 2

x = -3; x = 1

1. Проверка

1. x = -3; 2·(-3) + 37 = 31

(-3)³+3· (-3)² -7·(-3)+10=

= -27+27+21+10 = 31

31=31 – верно

1. x = 1; 2· 1 + 37 = 39

1³+3· 1² -7·1+10=

= 1+3-7+10 = 7

39=7 – неверно

Ответ. -3

На рисунке изображен график функции y = f(x)и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Чем больше угол, тем больше значение (угол острый – положительное значение, угол тупой – отрицательное)

1. Провести касательные в точках.

2. Значение произв. наименьшее – выбрать тупые углы (в точках -1 и 4)

Ответ. 4