Линейные неравенства

Линейные неравенства

Шумихина Е.А.

Гимназия 42

Г. Кемерово

Линейными неравенствами называются неравенства вида:

a x +b0

a x +b≥0 a x +b≤0

где a и b – любые числа, причем a≠0 ;

x — неизвестная переменная.

16 47x+723x +8≥0 4x≤−1519 Все приведенные выше неравенства являются линейными. Во всех них «сидит» очень важная особенность:  в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня . " width="640"

Например

5x16

47x+7

23x +8≥0

4x≤−1519

Все приведенные выше неравенства являются линейными.

Во всех них «сидит» очень важная особенность:  в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня .

ВАЖНО!

Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения.

Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Для упрощения процесса нахождения всех корней неравенства проводятся равносильные преобразования, то есть проводится замена данного неравенства более простым, при этом не должны потеряться никакие решения и не должно возникнуть никаких посторонних корней.

Правила преобразования неравенств

Правило 1

Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

Правило 2

  Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

7 3x7+4 3x11 Таким образом, можно с уверенностью сказать, что 3x−47 равносильно 3x11 . Применим правило 2, разделив обе части неравенства на положительное число 3 : 3x11 x x " width="640"

ПРИМЕР 1

3x−47

3x7+4

3x11

Таким образом, можно с уверенностью сказать, что 3x−47 равносильно 3x11 .

Применим правило 2, разделив обе части неравенства на положительное число 3 :

3x11

x

x

Рассмотрим задачу:

Предположим, что у Васи больше, чем 12 яблок. Все свои яблоки он хочет раздать поровну троим друзьям. По сколько яблок получит каждый друг?

12 Дальше мы делим обе части составленного неравенства на 3 и получаем: x12:3 x4 Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем 4 яблока. " width="640"

Если обозначить через x количество яблок, которое достанется каждому из трех друзей, то получим следующее линейное неравенство:

3x12

Дальше мы делим обе части составленного неравенства на 3 и получаем:

x12:3

x4

Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем 4 яблока.

ПРИМЕР 2

12+4x≤7−3x

4x+3x≤7−12

7x≤−5

Разделим обе части неравенства на 7 :

x≤

Делили на положительное число 7 , поэтому знак неравенства сохранился.

Почему так акцентируется внимание на том, что знак неравенства (≤) сохраняется?

А вот потому, что в отличие от преобразований линейных уравнений, преобразования линейных неравенств имеют свою особенность, можно даже сказать «подводный камень». Что это за «камень» объясняет правило 3.

на знак " width="640"

Правило 3

Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак на знак

− Заметили, знак (больше)? -4х 3 " width="640"

ПРИМЕР 3

− 4x

Делим на отрицательное число −4 , тогда знак неравенства меняется на противоположный:

x−

Заметили, знак (больше)?

-4х

3

ПРИМЕР 4

− 7x≥−8

Делим обе части на отрицательное число −7 , меняя при этом знак неравенства на противоположный:

x≤

7−5x " width="640"

Пять примеров для самостоятельной работы

5(14x−2)+ (12−4x)≥3

7(3x−1)+ (6x−12)≤3

(x+2) 2 +(x−4) 2 ≥2x 2

(x−6) 2 −(5−x) 2

4(2−3x)7−5x