© 2026, Шумихина Елена Андреевна 24 0
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 29.06.2026 12:36
Шумихина Елена Андреевна
Учитель математики
38 лет
272
150 883 
Специализация
Линейные неравенства
Категория:
Алгебра
13.06.2026 13:10
Просмотр содержимого документа
«Линейные неравенства»
неравенства
Шумихина Е.А.
Гимназия 42
г.Кемерово
Как мы знаем, два числа могут быть равны друг другу, а могут быть и не равны.
Равны два числа могут быть единственным образом, а вот неравными могут быть по-разному: одно число может быть меньше другого, а может быть больше другого.
Используя геометрическую интерпретацию можно сказать, что одно число больше другого, если оно расположено правее на числовой оси.
8
3
3
Сравнить два числа означает выяснить, какое из них больше, или установить, что числа равны.
Основные понятия
Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.
) или меньше (a a b — это значит, что a больше, чем b. a b и b Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно): a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b. a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b. знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными. Другие типы: a ≠ b — означает, что a не равно b. " width="640"
Типы неравенств
- Строгие — используют только больше () или меньше (
a
a b — это значит, что a больше, чем b.
a b и b
- Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно):
a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.
- Другие типы:
a ≠ b — означает, что a не равно b.
Типы неравенств
Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:
a
b
Типы неравенств
Числовые неравенства содержат вещественные числа и могут содержать также символы неизвестных (x, y).
b , то b а. Если а b и b c, то а c. И также если а Если а b, то а + c b+ c (и а – c b – c). Если же а К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину. " width="640"
свойства числовых неравенств
- Если а b , то b а.
- Если а b и b c, то а c. И также если а
- Если а b, то а + c b+ c (и а – c b – c).
Если же а
К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.
b, m — положительное число, то mа mb Если же а b, n — отрицательное число, то nа " width="640"
свойства числовых неравенств
- Если а b, m — положительное число, то mа mb
- Если же а b, n — отрицательное число, то nа
Как видите, свойства неравенств очень похожи на свойства равенств, которыми мы пользуемся при решении уравнений.
Важно понимать, что некоторые преобразования, допустимые при решении уравнений, с неравенствами нужно выполнять осторожно.
Например, возведение правой и левой частей неравенства в квадрат не всегда будет приводить к верному неравенству.
-4 верно, а если возвести обе части в квадрат, то получится неверное неравенство 916 . Можно возводить неравенство в квадрат, если обе его части неотрицательны. " width="640"
Так, неравенство 3-4 верно, а если возвести обе части в квадрат, то получится неверное неравенство 916 .
Можно возводить неравенство в квадрат, если обе его части неотрицательны.
Если обе части неравенства положительны, то неравенство можно смело возводить в квадрат.
Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то всё ясно и без возведения в квадрат - отрицательное число меньше положительного.
А если обе части неравенства отрицательны, то можно просто умножить обе части неравенства на -1 , не забыв поменять знак неравенства, в результате обе части неравенства станут положительны, после чего станет можно возвести неравенство в квадрат.
ЗаДАЧА
Сравним и
Оба числа положительны, поэтому возведем каждое из них в квадрат.
15
ЗаДАЧА
Отметьте на координатной прямой число .
6
4
5
3
7
Отметьте на координатной прямой число .
6
7
3
5
4
Сравним числа 3,4,5,6,7 и . Все числа положительные. Давайте возведем их в квадрат!
30
36
9
25
49
16
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
