Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства

Работу выполнила

преподаватель математики Стручкова А.П

История открытия логарифмов

Название введено Непером, происходит от греческих слов logoz и ariumoz - оно означает буквально “числа отношений”. Логарифмы были изобретены Непером. Непер изобрел логарифмы не позднее 1594 года. Логарифмы с основанием e ввел учитель математики Спейдел. Слово основание заимствовано из теории о степенях и перенесено в теорию логарифмов Эйлером. Глагол “логарифмировать” появился в 19 веке у Коппе. Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов. Обозначения, близкие к современным ввел немецкий математик Прингсхейм в 1893 году. Именно он обозначал логарифм натурального числа через ln. Определение логарифма как показателя степени данного основания можно найти у Валлиса (1665 год), Бернулли (1694 год).

Джон Непер

1550-1617 гг.

Логарифм

- определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a , чтобы получить число b :

Условия существования логарифма:

Логарифмическая функция

Графики логарифмических функций:

1 и убывает при 0а   " width="640"

Свойства функции у =

• Область определения (0; +∞)
• Область значений: у R
• Чётность /нечётность: функция не является ни четной, ни нечетной
• Нули функции: y = 0 при x = 1
• График функции проходит через точку: (1; 0)
• Функция возрастает при а 1 и убывает
• при 0а

0, b0 4. = Следствие: 5. = p = 6. = 7. = = x = y ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО: = b   " width="640"

Свойства логарифмов

1 . = 1

Формула перехода к новому основанию:

=

2. = 0

3. + =

a  1, b  1, a0, b0

4. =

Следствие:

5. = p

=

6. =

7. = = x = y

ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО: = b

Классификация логарифмических уравнений по методам решения

Функционально-графический

1

Потенцирование

2

Потенцирование

3

4

Введение новой переменной

Логарифмирование

5

6

Переход к новому основанию

7

Логарифмирование

Продолжение

Функционально-графический

8

Потенцирование

9

10

Потенцирование

11

Нестандартный (метод подбора)

Замена переменной

12

Замена переменной

13

Простейшие логарифмические неравенства

Продолжение

5.

эквивалентно совокупности двух систем неравенств

6.

эквивалентно совокупности двух систем неравенств

Упражнения на свойства логарифмов Вычислите:

Примеры решения логарифмических уравнений

0 Х+2 1 Х+20 х+2-2 х Ответ:(-2;25) 1. lg(x+1) ≤2 lg(х+1) ≤ lg100 ОДЗ: Х+10 Х+1 1 Х+10 х+1≤100 х-1 х ≤ 99 Ответ:(-1;99] Х Х 25 - 2 - 1 " width="640"

Пример решения логарифмического неравенства

99

1. log 3 (x+2)

log 3 (х+2)

ОДЗ: Х+20 Х+2 1

Х+20 х+2-2 х

Ответ:(-2;25)

1. lg(x+1) ≤2

lg(х+1) ≤ lg100

ОДЗ: Х+10 Х+1 1

Х+10 х+1≤100 х-1 х ≤ 99

Ответ:(-1;99]

Х

Х

25

- 2

- 1

Это интересно!

Логарифмическая спираль - имеет бесконечное множество витков и при раскручивании, и при скручивании. Второе название- равноугольная спираль . Это название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиусом вектором сохраняет постоянное значение.

Применение логарифмической функции:

• Механика и физика

Принцип Больцмана  в  статистической термодинамике  — одна из важнейших функций состояния термодинамической системы, характеризующая степень её хаотичности.

Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.

• Химия и физическая химия

Уравнение Нернста связывает  окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар.

• Теория музыки

Чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для . Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов