Материалы для подготовки к зачету 7 класс

№

Гл

Тема

(Название)

Формулировка

7 класс

1

Начальные геометрические сведения

Точка, прямая, отрезок, луч, угол

Т очка – это

Прямая -–это линия, которая не имеет начала и конца.

Луч – это прямая, которая имеет начало, но не имеет конца.

Отрезок – прямая, ограниченная двумя точками.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух выходящих из нее лучей.

Смежные углы и их свойство

Д ва угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными

Свойство: сумма смежных углов равна 180°.

Так как лучи ОА и ОВ образуют развернутый угол, то AOС+BOC= АОВ = 180°.

Вертикальные углы и их свойство

Д ва угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого

Свойство: вертикальные углы равны.

Угол 2 является смежным как с углом 1, так и с углом 3. По свойству смежных углов l+2 = 180° и 3+2 = 180°. Отсюда получаем: l = 180°-2, 3 = 180°-2. Таким образом, градусные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда следует, что и сами углы равны.

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Теорема о двух прямых перпендикулярных третей

Д ве прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются

Доказательство:

В самом деле, рассмотрим прямые АА₁ и ВВ₁ перпендикулярные к прямой PQ. Мысленно перегнем рисунок по прямой PQ так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч PA₁ Аналогично, луч QB наложится на луч QB₁ Поэтому, если предположить, что прямые АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке М, то эта точка наложится на некоторую точку также лежащую на этих прямых, и мы получим, что через точки М и М₁ проходят две прямые: АА₁ и BB_1. Но это невозможно. Следовательно, наше предположение неверно и, значит, прямые АА₁ и ВВ₁ не пересекаются.

Задача 70

Ч ерез точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.

Дано: прямая а; ;

Доказать:

Доказательство:

Предположим, что все прямые перпендикулярны к прямой а:

ba; ca; da.  прямые b, c, d – не пересекаются (Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются). Это противоречит условию  наше предположение не верно. Следовательно, только одна из прямых может быть перпендикулярна прямой а, а остальные будут наклонными.

Задача 77

Отрезок длиной m разделён:

а) на три равные части;

б) на пять равных частей.

Н айдите расстояние между серединами крайних частей.

Решение:

а) Построим отрезок AD=m.

Разделим его на 3 части, поставим точки В и С:

Длина каждого отрезка:

Построим точки M и N:

Найдем длину отрезка MN: 

б ) Построим отрезок AD=m.

Разделим его на 5 частей, поставим точки M, В, С, K, L:

MN – отрезок между серединами крайних отрезков.

Задача 84

Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой

Д ано: – вертикальные углы.

OM, OM₁ – биссектрисы;

Доказать: ММ₁ – одна прямая.

Доказательство:

– вертикальные углы  они равны.

– вертикальные углы  они равны.

Следовательно, и (т.к. OM, OM₁ – биссектрисы)

Таким образом, биссектрисы лежат на одной прямой

Задача 85

Д окажите, что если биссектрисы углов АВС и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.

Дано: АВС и CBD; ВE  BN – биссектрисы

Доказать: точки А, В и D лежат на одной прямой

Доказательство:

ABD = ABС+NBC+CBE+EBD =

NBC+NBC+CBE+CBE = 2NBC+2CBE =

2 (NBC + CBЕ) = 2NBE =

ABD - развернутый, следовательно, точки A, В и D лежат на одной прямой.

2

Треугольники

Треугольник, виды треугольников

Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками. Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.

Треугольники бывают: равносторонними, равнобедренными, прямоугольными, остроугольными и тупоугольными, равными.

Если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Прямоугольный треугольник и его элементы

Треугольник, в котором есть прямой угол = 90⁰, называется прямоугольным. Два катета и гипотенуза – лежит напротив прямого угла.

Теорема о перпендикуляре единственности перпендикуляра, проведенного из данной точки

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Дано:

Д оказать: АНВС

Доказательство:

Отложим от луча ВС угол МВС, равный углу АВС. Так как углы АВС и МВС равны, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны ВА и ВС первого угла совместятся со сторонами ВМ и ВС второго угла. Наглядно это наложение можно представить себе как перегибание рисунка по прямой ВС. При этом точка А наложится на некоторую точку А₁ луча ВМ.

Обозначим буквой Н точку пересечения прямых АА₁ и ВС. Отрезок АН и есть искомый перпендикуляр к прямой ВС. В самом деле, при указанном наложении (перегибании рисунка) луч НА совмещается с лучом НА₁, поэтому 1 совмещается с 2. Следовательно, 1=2. Но углы 1 и 2 — смежные, значит, каждый из них прямой. Итак, AHBC.

Докажем теперь, что из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС.

Если предположить, что через точку А можно провести еще один перпендикуляр к прямой ВС, то получим, что две прямые АН и AH₁ перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются (рис. 57). Но это невозможно. Итак, из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. Теорема доказана.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Треугольник, у которого боковые стороны равны, называется равнобедренным.

Свойство:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

Дано: △АВС – равнобедренный; AD – биссектриса.

Д оказать: AD – медиана и высота.

Доказательство:

Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD=DC и Z3=Z4. Ра­венство BD=DC означает, что точка D— се­редина стороны ВС и поэтому AD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 — смеж­ные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высо­той треугольника АВС. Теорема доказана.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: △АВС – равнобедренный;

Доказать: С=В.

Доказательство:

Пусть AD – биссектриса. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС по условию, AD — общая сторона, 1=2, так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому B=C. Теорема доказана.

Равносторонний треугольник и его свойства

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

Распространяются свойства равнобедренного треугольника. Углы равностороннего треугольника равны (по 60⁰).

Следствия из свойства равнобедренного треугольника

1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. 

   Рис. 64

   Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой

Медиана, биссектриса, высота в треугольнике

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника

Отрезок, делящий угол треугольника пополам, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке

Первый признак равенства треугольников

Е сли две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: △АВС и △А₁В₁С₁; АВ =А₁В₁, АС=А₁С_1; А=А₁

Доказать: △АВС = △А₁В₁С₁

Доказательство:

Так как A=A₁ то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А_1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁. Поскольку АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, а сторона АС — со стороной А₁С₁; в частности, совместятся точки В и B₁, С и С₁. Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁ Итак, треугольники АВС и А₁В₁С₁ полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: △АВС и △А₁В₁С₁; АВ =А₁В₁, А=А_1, В=В₁

Доказать: △АВС = △А₁В₁С₁

Доказательство:

Наложим треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁ сторона АВ — с равной ей стороной A₁ B₁, а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁.

Bi

Аг

Рис. 68

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Дано: △АВС и △А₁В₁С₁; АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁, СА=С₁А₁

Доказать: △АВС = △А₁В₁С₁

Доказательство:

П риложим треугольник АВС к треугольнику А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁ вершина В — с вершиной В₁ а вершины С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁ (рис).

Возможны три случая: луч С₁С проходит внутри угла А₁С₁В₁ (рис. а); луч С₁С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. б); луч C₁C проходит вне угла А₁С₁В₁ (рис. в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

Так как по условию теоремы стороны АС и A₁C₁, ВС и В₁С₁ равны, то треугольники А₁С₁С и В₁С₁С — равнобедренные (см. рис. а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника 1 =2,

3 = 4, поэтому А₁СВ₁ =А₁С₁В₁. Итак, C=C₁.

Следовательно, треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по первому приз­наку равенства треугольников. Теорема доказана.

Окружность, центр окружности, радиус, диаметр, хорда, дуга.

О кружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности. Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром. Диаметр равен двум радиусам.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом

Задачи на построение

Построить отрезок, равный данному

Построить угол, равный данному

Построить биссектрису угла

Построить середину отрезка

П остроить перпендикуляр к прямой

Задача 159

Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Д ано: АВС и А₁В₁С₁; ;

Доказать: АВС = А₁В₁С₁

Доказательство:

Так как АВС и А₁В₁С₁ - равнобедренные,

то АВ = ВС,

 АВС = А₁В₁С₁ (по2 сторонам и угла между ними).

Задача 163

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника

Д ано: АВС – равнобедренный

AD = DB; BF = FC; АE = СЕ

Доказать: DFE – равнобедренный

Доказательство:

AD = FС (по условию), АE = СЕ (по условию),

А = С (так как АВС – равнобедренный) = ADЕ = СFE (по 2 сторонам и угла между ними) = DE = EF = DFE – равнобедренный.

Задача 173

Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.

Д ано:

Доказать:

Доказательство:

Сумма углов треугольника равна 180°, то есть l + 2 + 3 = 180°.
3 и 4 - смежные, значит 3 + 4 = 180°.

Приравняем оба равенства,

1 + 2 + 3 = 3 + 4;  l + 2 = 4, так как в треугольнике все углы больше 0°,

то 42 и 41.

Задача 180

П остройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

Дано: точка С и отрезок АВ

Построение:

1. Построим окружность с центром в точке С и радиусом АВ;

2. Эта окружность пересечет прямую а в двух точках, в одной точке или не пересечет;

3. В зависимости от этого задача будет иметь два решения, одно решение или не иметь решений.

(на рисунке показан пример с пересечением прямой и окружности в 2-х точках)

Задача 181

П остройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

Дано: AB – радиус окружности; C и D – точки.

Построение:

1. Построить окружности радиусом АВ с центром в точках C и D.

2. Обозначить точку пересечения окружностей – О.

3. Построим окружность радиусом OD. Это и будет искомая окружность.

Задача 184

Н а стороне BC треугольника ABC Постройте точку, равноудалённую от вершин A и C.

Дано:

Построение:

1. Построим две окружности с центром в точке А и С и одинаковыми радиусами AC;

2. Эти окружности пересекаются в точках E и N.

3. EN и ВС пересекаются в точке D – нужная точка.

Доказательство:

Рассмотрим △ACD, DO - серединный перпендикуляр = △ACD - равнобедренный = AD = АС.

Задача 185

С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на 4 равные части.

Дано:

Построение:

Чтобы разделить отрезок на 4 равные части, надо разделить его пополам. Затем, каждую половину – еще раз пополам.

3

Параллельные прямые

Параллельные прямые и отрезки

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Секущая; углы, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей (определения)

П рямая с называется секущей по отношению к прямым а и в, если она пересекает их в двух точках (рис. 100). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 100 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Первый признак параллельности прямых

Е сли при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: a,bc; 1=2

Доказать: a||b

Доказательство:

Докажем, что а\\Ь. Если углы 1 и 2 прямые, то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой а. На прямой b от точки В отложим отрезок ВН₁ равный отрезку АН, как показано на рисунке, и проведем отрезок OH₁ Треугольники ОНА и ОН₁В равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АН =BH₁ 1=2), поэтому 3=4 и 5= 6. Из равенства 3=4 следует, что точка Н₁ лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н₁ лежат на одной прямой, а из равенства 5=6 следует, что угол 6— прямой (так как угол 5 — прямой). Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой НН₁ поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Второй признак параллельности прямых

Е сли при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны

Дано: 1=2; a,bc

Доказать: a||b

Доказательство:

Так как углы 2 и 3 — вертикальные, то 2=3. Из этих двух равенств следует, что 1=3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и Ь параллельны. Теорема доказана

Третий признак параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны

Дано: a,bc; 1+4=180

Доказать: a||b

Доказательство: смотреть рисунок в предыдущем доказательстве!

Так как углы 3 и 4 — смежные, то 3+4 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Построение параллельных прямых

• при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертёжной практике

• с помощью циркуля и линейки:

1. Выбрать произвольную точку В на прямой а и построить окружность произвольного радиуса и поставить точку А.

2. На пересечении окружности и прямой отметить точку С.

3. Тем же радиусом АВ построить окружность с центром в точке С.

4. Прежним радиусом АВ построить окружность с центром в точке А.

5. Отметить точку пересечения второй и третьей окружностях D.

6. Через точки A и D провести прямую.

Полученная прямая будет параллельна данной.

Также можно построить параллельные прямые через построения перпендикулярных прямых к третьей.

• с помощью чертёжного угольника и линейки

Аксиома. Аксиомы планиметрии

Аксиома – утверждение, не требующее доказательства.

• через любые две точки проходит прямая, и притом только одна

• на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, н притом только один

• от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы параллельных прямых

1. Е сли прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Действительно, пусть прямые а и b параллельны и прямая с пересекает прямую а в точке М (рис. а). Докажем, что прямая с пересекает и прямую b. Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой b (рис. б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b.

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны

Д ействительно, пусть прямые а и Ь параллельны прямой с (рис. а). Докажем, что а||b. Допустим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке М (рис. б). Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b), параллельные прямой с.

Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение неверно, а значит, прямые а и b параллельны.

Обратная теорема

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Следствие: если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой

Задача 212.

Углы с соответственно параллельными сторонами.

Докажите, что если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.

Решение

П усть АОВ и А₁О₁В₁ — данные углы и OA||O₁A₁, OB||O₁B₁. Если АОВ развернутый, то и А₁О₁В₁ — развернутый (т.к. они лежат на параллельных прямых), поэтому эти углы равны. Пусть АОВ — неразвернутый угол. Возможные случаи расположения углов АОВ и А₁О₁В₁ изображены на рисунке 120, а и б. Прямая О₁В₁ пересекает прямую и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. Параллельные прямые ОВ и О₁В₁ пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образованных при пересечении прямых О₁В₁ и ОА (угол 1 на рисунке 120), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Параллельные прямые ОА и ОА₁ пересечены секущей О₁М, поэтому либо 1=A₁O₁B₁ (рис. 120, а), либо 1+ A₁O₁B₁ = 180⁰ (рис. 120, б). Из равенства 1=AOB и последних двух равенств следует, что либо AOB=A₁O₁B₁ (см. рис. 120, а), либо AOB + A₁O₁B₁ =180° (см. рис. 120, б), что и требовалось доказать.

Задача 218

Две прямые пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает одну прямую и параллельна другой прямой. Ответ обоснуйте

Д ано: ;

Доказать: c||b

Доказательство:

Возьмем любую точку Мb и Ма. По аксиоме параллельных прямых через точку можно построить прямую с, параллельную b, и только
одну. Так как b||c аb, то ac. Следовательно, можно построить прямую, параллельную прямой b и пересекающую прямую a.

Задача 219

???

Даны две прямые а и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и вторую прямую, то данные прямые а и b параллельны.

Дано: а и b – прямые, .

Доказать: а || b

Доказательство:

Допустим, что аb = А, тогда возможны случаи:

Первый – abc =A, второй –

В третьем случае прямая с не переcекает прямую b,

что противоречит условию b  предположение, что аb неверно, а верно, что а || b ч.т.д.

Задача 220

Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы не равны, то данные прямые пересекаются.

Дано: 1 ≠ 2

Доказать: а  b

Доказательство: Если 1 и 2 – накрест лежащие углы при прямых а и b и секущей с; 1 ≠ 2 = а не параллельна b.

Если прямые на плоскости не параллельны, то они пересекаются= а  b. ч.т.д.

Задача 222

Объясните, как как построить прямую проходящую через данную точку и параллельную данной прямой. (Смотри объяснение выше )

4

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Теорема о сумме углов в треугольнике

Сумма углов в треугольнике составляет 180°

Д ано: АВС;

Доказать: A+B + C= 180°

Доказательство:

Проведем через вершину В пря­мую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому 4=1, 5=3. (1)

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. 4+2+5 = 180°. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: l+2+3 = 180°, или A+B+C= 180°. Теорема доказана.

Внешний угол треугольника и его свойство

В нешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Так как 4+3 = 180°, а по теореме о сумме углов треугольника

(l+2) + 3 = 180°, то 4 = 1+2, что и требовалось доказать

Теорема о соотношение между сторонами и углами треугольника

В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона

Дано: АВС; 1) АВ  АС; 2) CB

Доказать: 1) CB. 2) АВ  АС

Д оказательство:

1. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС. Так как АDD лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, C1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому 2B. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, C1, 1=2, 2B. Отсюда следует, что C B

2. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=АС, либо АВ АВС — равнобедренный и, значит, C=B. Во втором случае BC (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: CB. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ АС. Теорема доказана

Следствия из теоремы (для прямоугольного и равнобедренного треугольника)

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

В самом деле, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета

1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны). Итак, в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник — равнобедренный

Теорема о неравенстве сторон треугольника

К аждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Дано: АВС;

Доказать: АВ

Следствие из теоремы

Для любых трёх точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:

АВ

Прямоугольный треугольник и его элементы

Треугольник, в котором есть прямой угол = 90⁰, называется прямоугольным. Два катета и гипотенуза – лежит напротив прямого угла

Смотри выше

Свойства прямоугольных треугольников

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90

В самом деле, сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Рассмотрим прямоугольный △АВС, в котором A — прямой, B=30° и, значит, C=60°. Докажем, что . Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке. Получим треугольник BCD, в котором B=D=60°, поэтому DC=BC. Но . Следовательно, , что и требовалось доказать

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС. Докажем, что ABC=30°.

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (по теореме о сумме углов в треугольнике), поэтому каждый из них равен 60°. В частности, DBC = 60°. Но DBC=2ABC. Следовательно, ABC = 30°, что и требовалось доказать.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

• Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Доказывается через второй признак равенства треугольников

• Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны

Из свойства: сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90, следует, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам. Теорема доказана.

• Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны

Рассмотрим треугольники АВС и A₁B₁C₁ у которых углы С и С₁ — прямые, АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁ (рис.). Докажем, что △авс=△а₁в₁с₁.

Так как C=C₁ то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответ­ственно на лучи С₁А₁ и С₁В₁ Поскольку С В=С₁В₁ то вершина В совместится с вершиной В₁. Но тогда вершины А и А₁ также совместятся. В самом деле, если предполо­жить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А₂ луча А₁А₂, то получим равнобедренный треугольник А₁В₁А₂ в котором углы при основании А_гА₂ не равны (A₂ — острый, a A₁ — тупой как смежный с острым углом . Но это невозможно, поэтому вершины А и А₁ совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники АВС и А₁В₁С₁, т. е. они равны. Теорема доказана.

Расстояние от точки до прямой

П усть отрезок АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а, М — любая точка прямой а, отличная от Н (рис.). Отрезок AM называется наклонной, проведенной из точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы AM. Следовательно, перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Свойство параллельных прямых

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой

Р ассмотрим параллельные прямые а и b. Отметим на прямой а точку А и проведем из этой точки перпендикуляр АВ к прямой b (рис.). Докажем, что расстояние от любой точки X прямой а до прямой b равно АВ.

Проведем из точки X перпендикуляр XY к прямой b. Так как ХУb, то ХУа. Прямоугольные треугольники ABY и YXA равны по гипотенузе и острому углу (AY — общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении па­раллельных прямых а и Ь секущей AY). Следовательно, XY=AB.

Итак, любая точка X прямой а находится на расстоянии АВ от прямой Ь. Очевидно, все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой а. Теорема доказана.

Расстояние между прямыми

Из доказанной выше теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, все время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Построение треугольника по трем элементам

П о двум сторонам и углу между ними

Д аны отрезки P₁Q₁ и P₂Q_2, и угол hk. Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам P₁Q₁ и P₂Q₂, а угол А между этими сторонами равен данному углу hk.

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку. Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk (как это сделать, мы знаем). На луче AM отложим отрезок АС, равный отрезку P₂ Q₂, и проведем отрезок ВС. Построенный треугольник АВС — искомый.

По стороне и прилежащим к ней углам

1 . Произвольно начертить отрезок АВ, равный заданному отрезку c.
2. Построить угол А, равный заданному.
3. Построить угол В, равный заданному.

Точка пересечения двух сторон углов А и В – вершина треугольника С. Построили треугольник АСВ по стороне и двум заданным углам.

По трем сторонам

П усть даны отрезки P₁Q₁ P₂Q₂ и P₃Q₃ (рис. а). Требуется построить треугольник АВС, в котором AB=P₁Q_l, BC=P₂Q₂, CA= P₃Q₃.

Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P₁Q₁ (рис. б). Затем построим две окружности: одну — с центром А и радиусом P₃Q₃, а другую — с центром В и радиусом P₂Q₂. Пусть точка С — одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС

Задача 274

Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

Ч то представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Дано: △ABC – равнобедренный. .

Доказать: .

Доказательство:

Рассмотрим △AEM и △СFМ :

АM = MС (по условию), BAC = BСА (так как △АВС - равнобедренный) = △АЕМ = △СFМ (по гипотенузе и острому углу) = KN = КМ (по определению равных треугольников), ч.т.д.

Задача 284

Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми а и р было равно АВ

Задача 293

Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне

Задача 294

Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон

Построение:

Построим произвольную прямую d и отмечаем на ней произвольную точку D (см. рис. 5).

Через точку D проводим прямую с  d.

Откладываем на прямой с DC = h_с.

Из точки С как из центра описываем две окружности с радиусом

R₁ = b и R₂ = a до их пересечения с прямой d в точках А и В.

△AВС — искомый, так как отвечает всем требованиям задачи.

Задача 295

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон

Построение.

Построим на произвольной прямой от произвольной точки А

отрезок АС = b.

Разделим АС пополам: AD = DC.

Из точки D как из центра проводим окружность с радиусом R = т_ь.

Из точки С как из центра проводим окружность радиусом а.

Обозначим через В одну из точек пересечения окружностей и соединим точки В и А. △АВС— искомый.

Доказательство.

В △АВС АС = b по построению; AD = DC, значит, BD - медиана, BD = т_ь по построению;

ВС - а также по построению, значит, △АВС отвечает всем требованиям задачи.

Задача 303

Докажите, что в треугольнике АВС медиана AM меньше полу суммы сторон АВ и АС

Дано: △АВС; AM - медиана

Д оказать:

Доказательство:

Продолжим АМ и на продолжении отложим от точки М отрезок АМ=MD.

AMC=BMD (как вертикальные); АМ=MD (по построению); ВМ=МС (по определению медианы). Из этого следует, что △АМС=△BMD (по первому признаку равенства треугольников).

△АМС=△BMD  АС=BD

Рассмотрим △ABD: (по неравенству треугольника);

(по построению);



Задача 304

Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника АВС, то

М В + МС

Задача 313

П остройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне

Дано: отрезки а, b, c

П остроение:

На прямой строим точку А и откладываем от нее отрезок с и ставим точку D.

Построим окружность с центром в точке А и радиусом отрезка b

Построим окружность с центром D и радиусом 2а

Отметим точку В на пересечении окружностей.

Соединим точки В и D.

Отметим середину отрезка BD: Проведем луч AB₁.

Отложим отрезок

Соединим точки А, В и С.

Задача 316

П остройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Дано: отрезки а, b, c

П остроение:

Построим параллельные прямые e и m на расстоянии друг от друга, равном данной высоте

Отложим на прямой е отрезок АВ=с

Построим окружность с центром в точке А и радиусом 2b.

Отметим на параллельных прямых точки B₁ и D.

Проведем луч AD и отметим середину отрезка AD:

П роведем луч ВМ и отметим точку С на пересечении с параллельной прямой m.

Соединим точки А и С  получаем треугольник АВС.

Задача 319

Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла

Задача 320

Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне

Задача 321

Дан треугольник АВС с прямым углом А. На стороне АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС