Метод оценки при решении тригонометрических уравнений.

Метод оценки при решении тригонометрических уравнений

Чернышев Э.Н., учитель математики

1. Решим уравнение

cos   · cos   = 1.

Очевидно, что можно применить формулы двойного и тройного угла, но мы попробуем оценить выражения, входящие в уравнение. Поскольку cos t не превосходит 1, то при умножении можно получить 1 только в одном из случаев:

Вторая система не имеет решений, а решениями первой системы, а значит и первоначального уравнения, являются   = 2   m, где m є z.

2. Решим уравнение

cos   · cos  = 1.

Не забудем, что решениями могут являться значения х не меньше 4, поскольку выражение (х – 4) находится под знаком арифметического квадратного корня. Из тех же соображений, что и при решении примера 1, получим, что при умножении можно получить 1 только в одном из случаев:

Решая отдельно эти системы, получим, что решением первой системы является число 4, а у второй системы решений нет.

Таким образом, х = 4 – решение первоначального уравнения.

3. Решим уравнение:

3cos х – 4sin х = .

Легко показать, что выражение, стоящее в левой части уравнения

-5   3 cos х – 4 sin х   5,

а выражение, стоящее в правой части уравнения

 =   =     6.

Таким образом, данное уравнение решений не имеет.

4. Решим уравнение:

sin   – sin   · cos   = 1, 5.

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения. Получим, что

sin х – sin   · cos х =   ·(sin  · sin х – cos  · cos х) =

= –   · cos ,

где   = ± arccos  .

При этом,

0   sin² 15x   1,

1     2,

1      и

-  · cos      .

Таким образом, левая часть  , а правая равна 1,5. А это невозможно. Значит, уравнение решений не имеет.

5. Решим уравнение

 sin   –   sin   = cos · cos х + 2 cos   – 6.

Запишем уравнение в виде   sin   – 2 cos   = cos  · cos   +   sin  – 6. А теперь оценим, используя метод вспомогательного угла, выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения.

1)   sin   – 2 cos   =   · 

= -  cos  = – 4 cos   и -4   – 4 cos     4.

2) cos  · cos х +   sin х – 6 =   · ( cos   · cos x + sin  · sin x) – 6 =

=   cos   – 6,

где   = ± arccos  .

При этом,

0   cos² 24x   1,

3   3 + cos² 24x   4,

     2,

– 2   cos     2,

– 8     cos   – 6   – 4.

Таким образом, левая часть   – 4, а правая часть   – 4. Их равенство возможно только при выполнении условия:

Решая эту систему, получим, что х =   + 2 m, где m   Z.

6. Для каждого а решить уравнение 4 cos х · sin a +2 sin х · cos a – 3 cos a = .

4 cos х · sin a + (2 sin х – 3) ·cos a = .

Оценим выражение, стоящее в левой части уравнения:

4 cos х · sin a + (2 sin х – 3) ·cos a =   · (sin  · sin а +

+ cos  · cos а) =   cos   =

= cos  =   cos  ,

где   = ± arccos   .

При этом, – 12 sin²  – 12 sin  + 25 = -12 · ( sin²   + sin  –   ) =

= – 12 ·  = – 12 ·  =

= – 12 ·  + 28   28, а 0        .

Таким образом,   cos   =   при

Поскольку,   = ±arccos   + 2?k =

= ±arccos  + 2 k = ± arccos   + 2 k=

= ± arccos  + 2 k == ± arccos  + 2 k,

Описанный способ решения уравнений и неравенств может быть применим в школьной математике и обеспечить расширение компетенций обучающихся в части формального моделирования..