Методическая разработка к уроку по теме «Метод объемов»

Учитель математики МБОУ «СОШ№15» г. Курска

Методическая разработка к уроку по теме

«Метод объемов»

Методом объемов мы называем приравнивание двух подходящих выражений для объёма, в результате чего удаётся вычислить искомую величину (расстояние или угол).

Метод объемов можно использовать, вычисляя:

• расстояние от точки до плоскости;

• угол между прямой и плоскостью;

• угол между плоскостями;

• расстояние между скрещивающимися прямыми.

С идейной точки зрения метод объемов весьма прост. Все, что здесь нужно, - это найти подходящую треугольную пирамиду и аккуратно провести вычисления. Правда, вычислений обычно получается несколько больше, чем в методах, рассмотренных выше. Но тут уж ничего не поделаешь – за простоту метода приходится платить.

Замечательный факт состоит в том, что при вычислении объема треугольной пирамиды можно в качестве основания выбрать любую ее грань. Это используется при нахождении расстояния от точки до плоскости; нужно лишь представить искомое расстояние как высоту подходящей пирамиды.

А именно, предположим, что нам нужно найти расстояние от некоторой точки C до некоторой плоскости ABD.

Использование метода объемов при нахождении расстояния от точки до плоскости

1) Рассмотрим треугольную пирамиду DABC.

2) Предположим, что нам нужно найти расстояние от некоторой точки C до некоторой плоскости ABD. ρ(С; ABD)-?

3) Тогда искомое расстояние- это высота d данной пирамиды, проведенная из вершины С.

1. Пусть S₀- площадь грани ABC,

h - высота, опущенная из точки D на эту грань,

S- площадь грани ABD.

1. С одной стороны, объем пирамиды DABC может быть найден по формуле:

…(1)

1. С другой стороны, за основание можно принять грань ABD, и тогда

…(2)

7) Приравнивая правые части формул (1) и (2), получим:

…(3)

8) Из соотношения (3) можно найти искомую величину d.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра: АВ=1; AD = ; АА₁ = . Найдите расстояние от точки В до плоскости АВ₁С.

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁- прямоугольный параллелепипед

АВ = 1

AD =

АА₁ =

(АВ₁С) - секущая плоскость

Найти: ρ (В; АВ₁С)

Решение:

1. Расстояние от точки B до плоскости AB₁C есть длина перпендикуляра, проведенного из B к плоскости AB₁C.

2. Пусть BK – перпендикуляр, проведенный из точки B к плоскости AB₁C.

3. Длина перпендикуляра BK , будет равна высоте пирамиды BAB₁C с вершиной B.

4. Найдем объем этой пирамиды

где BK - высота пирамиды и расстояние от точки В до плоскости АВ₁С.

5) Найдем площадь ∆АВ₁С.

Для этого найдем стороны ∆АВ₁С.

∆АВВ₁- прямоугольный

По теореме Пифагора:

∆В₁ВС- прямоугольный

По теореме Пифагора:

∆АВС- прямоугольный

По теореме Пифагора:

По формуле Герона:

Второй способ вычисления площади ∆AB₁C

1) Проведем высоту АН

2) Пусть НС = х В₁H = 3-x

3) ∆АНС - прямоугольный

По теореме Пифагора:

5) Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим:

Подставим в равенство (1)

Получим

Третий способ вычисления площади ∆AB₁C

По теореме косинусов найдем

Подставим в формулу площади, получим

Итак,

6) Рассмотрим эту треугольную пирамиду с вершиной В₁, т.е. В₁АВС.

7) Т.к. ABCDA₁B₁C₁D₁- прямоугольный параллелепипед, то ВВ₁ ┴ ABCD, т.е. ВВ₁ - высота пирамиды В₁АВС.

Найдем площадь ∆АВС. ∆АВС- прямоугольный.

Следовательно,

Из (1) и (2) получаем:

Ответ:

Метод объемов легко справляется с задачами, решить которые прежними методами было бы затруднительно.

Почему при решении этой задачи прежними методами мы столкнулись бы с проблемами? Дело в том, что в пирамиде АВСВ₁ отсутствует симметрия – все ребра пирамиды имеют различную длину. Соответственно, к проекции точки В на плоскость АВ₁С не так-то просто «подобраться». Но методу объемов, как видите, данная трудность нипочем – мы нашли искомую высоту, даже не выясняя, куда именно проектируется точка В.

Задача

В правильной четырехугольно пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от середины ребра SB до плоскости SCD.

Дано:

SABCD- правильная четырехугольная пирамида

Е- середина SB

AB=BC=CD=AD=AS=BS=DS=CS=1

Найти: ρ (Е; SDC)

Решение:

1. Расстояние от точки E до плоскости DSC есть длина перпендикуляра, проведенного из точки E к плоскости DSC.

2. Пусть EK – перпендикуляр, проведенный из точки E к плоскости DSC.

3. Подходящая треугольная пирамида здесь ESDC.

Искомое расстояние есть высота этой пирамиды, проведенная из вершины Е на основание SDC, т.е. EK.

4) Найдем объем пирамиды ESDC с вершиной Е.

,

где EK - высота пирамиды и расстояние от Е до плоскости SDC.

5) Найдем площадь ∆SDC.

∆SDC- правильный, т.к. все ребра пирамиды равны.

- площадь правильного треугольника.

Следовательно,

6) Итак,

7) Рассмотрим эту треугольную пирамиду с вершиной С, т.е. CSED.

где СО- высота пирамиды.

8) Докажем, что СО SED.

СОBD- как диагонали квадрата.

СО SO, так как SOABCD, следовательно, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

BD∩SO=O, BD  BSD; SO  BSD

9) Значит, СО BSD на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Следовательно, СО SED.

10) По свойству диагоналей квадрата.

∆ADC- прямоугольный

По теореме Пифагора:

Значит,

1. Найдем площадь ∆SED. Сделаем выносной рисунок

∆BSD- равнобедренный, BS=SD. Так как DE- медиана, то

DK- высота ∆BSD и DK- высота ∆SED. Значит,

А т.к. , то

Найдем площадь ∆SBD

∆SOD- прямоугольный. По теореме Пифагора

Значит,

Из равенств (1) и (2), получим:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости BFA₁.

Ответ:

1. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SCE.

Ответ:

1. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SBF

Ответ:

1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е- середина ребра SB. Найдите расстояние от точки В до плоскости ACE.

Ответ: 0,5

1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости SCD.

Ответ:

1. В правильной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые стороны (ребра) равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SDE. Ответ:

2. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки А до плоскости BDC₁.

Ответ: