Методическая разработка курса "Задачи на проценты"

2

Задачи на процентное соотношение.

Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

Автор:

Богомолова Ольга Михайловна,

учитель математики МБОУ СОШ № 6

г.Шарья Костромской области

Знание составляется из мелких крупинок ежедневного опыта

Д.И.Писарев

Содержание

1. Введение.

2. Основная часть

   1. Что такое процент.

   2. Основные виды задач на проценты.

   3. Задачи с решением.

   4. Тренировочные задачи

3. Заключение.

4. Список использованной литературы и источников

Введение

На государственную итоговую аттестацию по математике выносятся темы, рассматриваемые в курсах математики 5–6 классов, алгебры 7–9 классов, алгебры и начал анализа 10–11 классов, планиметрии 7–9 классов, стереометрии 10–11 классов. Основой подготовки к ОГЭ и ЕГЭ является организация систематического повторения материала, изученного в 5–11 классах.

Данная методическая разработка содержит базовые факты: определения, формулы, свойства математических объектов и т. п. по теме «Процентное соотношение» и представляет собой справочник для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике. Это пособие содержит не только теоретический материал, необходимый для решения различных задач на проценты, но и значительное количество разобранных примеров, иллюстрирующих основные методы и приёмы решения задач. А так же подборку тренировочных задач.

Что такое процент?

На практике люди часто пользуются сотыми частями величин. Для сотой части величины или числа придумали специальное название — один процент (от латинского pro centum — на сто) и обозначение 1%.

Любое количество процентов можно записать в виде десятичной дроби или натурального числа. Для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.

Например, 21% = 0,21; 60% = 0,60 = 0,6; 400% = 4.

Можно выполнить обратное преобразование, т. е. записать десятичную дробь или натуральное число в процентах. Для этого нужно число умножить на 100 и к результату приписать знак %.

Например, 1,3 = 130%, 0,03 = 3%, 3 = 300%.

Нахождение процентов от числа

Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Задача. Клубника содержит в среднем 5% сахара. Сколько килограммов сахара содержится в 16 кг клубники?

Решение. Запишем 5% в виде десятичной дроби: 5% = 0,05. Тогда: 16 · 0,05 = 0,8 (кг) — сахара в 16 кг клубники.

Ответ: 0,8 кг.

Нахождение числа по его процентам

Чтобы найти число по его процентам, можно представить проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь

Задача. В бочку налили 77 л воды. Какой объём этой бочки, если оказалось, что заполнено 70% её объёма?

Решение. Запишем 70% в виде десятичной дроби: 70% = 0,7. Имеем: 77 : 0,7 = 110 (л) — объём бочки.

Ответ: 110 л.

Процентное отношение

Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Оно оказывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Например, если в классе учатся 12 девочек и 20 мальчиков, то процентное отношение количества девочек к количеству мальчиков равно 12 : 20 · 100 = 60 (%). Оно показывает, что количество девочек составляет 60% от количества мальчиков.

Концентрация вещества

Концентрацией растворённого вещества называют процентное отношение количества растворённого вещества или его массы к объему раствора.

Например, смешаем 3 л воды и 200 г соли.

Масса 1 л воды составляет 1 кг. Тогда масса 3 л воды будет составлять 3 кг. Переведем 3 кг в граммы, получим 3 кг = 3000 г.

Теперь в 3000 г воды опустим 200 г соли и смешаем полученную жидкость. В результате получится соленный раствор, общая масса которого будет составлять 3000 + 200 = 3200 г. Найдем концентрацию соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение массы растворенной соли к массе раствора 200 : 3200 ·100 = 6,25 %

Значит, при смешивании 3 л воды и 200 г соли получится 6,25%-й раствор соли.

Аналогично может быть определено количество вещества в сплаве или в смеси. Например, сплав содержит олово массой 210 г, и серебро массой 90 г. Тогда масса сплава будет составлять 210 + 90 = 300 г. Олова в сплаве будет содержаться 210 : 300·100 = 70% , а серебра 90 : 300 · 100 = 30%

При смешивании двух растворов получается новый раствор, состоящий из первого и второго растворов. У нового раствора концентрация вещества может быть другой. В общем итоге смысл таких задач заключается в отслеживании изменений, которые происходят при смешивании растворов различной концентрации.

Задача. Имеются 3 раствора морской соли в воде: первый раствор содержит 10% соли, второй содержит 15% соли и третий — 20% соли. Смешали 130 мл первого раствора, 200 мл второго раствора и 170 мл третьего раствора. Определите сколько процентов составляет морская соль в полученном растворе.

Решение. Определим объем полученного раствора:

130 мл + 200 мл + 170 мл = 500 мл

Поскольку в первом растворе было 130 × 0,10 = 13 мл морской соли, во втором растворе 200 × 0,15 = 30 мл морской соли, а в третьем — 170 × 0,20 = 34 мл морской соли, то в полученном растворе будет содержаться 13 + 30 + 34 = 77 мл морской соли.

Определим концентрацию морской соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение 77 мл морской соли к объему раствора 500 мл:

77 : 500 · 100 = 15,4 %

Значит, в полученном растворе содержится 15,4% морской соли.

Ответ: 15,4.

Увеличение числа на процент

Если некое число а увеличено на р %, то оно увеличилось в (1 + р /100)

раз. Откуда а · (1 + р /100).

Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?

Решение. Подставим в формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 · (1 + 15/100) = 161.

Ответ: 161.

Уменьшение числа на процент

Если число а уменьшено на р % и при этом 0 ≤ р ≤ 100, то число уменьшено в (1 – р/100) раз. И нужное нам число находим по формуле

а · (1 – р/100).

Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?

Решение. Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 · (1 – 25/100) = 75.

Ответ: 75.

Задачи на простые проценты

Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как S₀, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как р % и количество периодов начисления процента как n, то формулу можно записать так: S_n = S₀ · (1 + n · р/100).

Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?

Решение. Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S_n = 5000 · (1 + 12 · 15/100) = 14000.

Ответ: 14000

Задачи на сложные проценты

Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S_n – наращиваемая сумма, S₀– исходная, p% - процентная ставка, n – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S_n = S₀ · (1 + p/100)ⁿ.

Задача. Сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита, взятого в сумме 25000 рублей, взятых под 15% сроком на 3 месяца.

Решение. Подставляем цифры из условия:

S₃ = 25000 · (1 + 15/100)³ = 38021,875 – искомая сумма.

Ответ: 38021,875.

Задачи с решением

Пример 1. Найдите 20% от 82 килограммов. Ответ дайте в килограммах.

Решение. 20% данной величины — это двадцать сотых (т. е. две десятых) этой величины. Поэтому 20% от 82 килограммов — это 0,2 · 82=16,4 кг.

Ответ. 16,4.

Пример 2. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 9% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,35 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 8 кг в течение суток?

Решение. Поскольку процент — это одна сотая часть числа, активного вещества в каждой таблетке содержится 20 · 0,09 = 1,8 мг. Ребёнку указанного в условии задачи возраста и весом 8 кг требуется 8 · 1,35=10,8 мг активного вещества в сутки. Искомое число таблеток будет равно 10,8 : 1,8 = 6.

Ответ. 6.

Пример 3. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Иван Иванович получил 26 100 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Ивана Ивановича?

Решение. Вся заработная плата составляет 100%, а налог составляет 13%, поэтому после удержания налога получаем 100 – 13 = 87. Значит, 26 100 : 0,87 = 30 000 рублей.

Ответ. 30 000.

Пример 4. В июле товар стоил 5500 рублей. В ноябре цену на товар снизили на 6%, а в декабре подняли на 8%. Сколько рублей стоил товар после повышения цены в декабре?

Решение. Стоимость товара в ноябре уменьшилась на 6 сотых, т. е. составила 0,94 · 5500 = 5170 рублей. Полученная стоимость увеличилась в декабре на 8 сотых, т. е. составила 1,08 · 5170 = 5583,6 рубля.

Ответ. 5583,6.

Пример 5. Десять рубашек дороже куртки на 10%. На сколько процентов одиннадцать рубашек дороже куртки?

Решение. Обозначим буквой P стоимость одной рубашки, буквой K — стоимость куртки. Из условия задачи следует, что 10P = 1,1K,

откуда P = 1,1 K : 10 = 0,11K.

Следовательно, 11P = 11 · 0,11K = 1,21K.

Значит, стоимость одиннадцати рубашек больше стоимости куртки на 21 сотую, т. е. одиннадцать рубашек дороже куртки на 21%.

Ответ. 21.

Пример 6. Во время распродажи Паша купил четыре одинаковые по цене футболки со скидкой 40%. Сколько таких футболок он мог бы купить на ту же сумму, если бы скидка составила 60%?

Решение. Будем считать, что до распродажи футболка стоила 100 д. е. (денежных единиц). Тогда стоимость футболки со скидкой 40% будет равна 60 д. е. Значит, Паша потратил на покупку четырёх футболок 4 · 60 = 240 д. е. Если скидка составит 60%, то стоимость футболки будет равна 40 д. е., и на 240 д. е. можно будет купить 240 : 40 = 6 футболок.

Ответ. 6.

Пример 7. На птицеферме разводят куриц, уток и гусей. Известно, что уток в 1,5 раза больше, чем гусей, и на 40% меньше, чем куриц. Найдите вероятность того, что случайно увиденная на этой птицеферме птица окажется гусем.

Решение. Если обозначить число куриц через x, то число уток будет равно 0,6x, а число гусей — в полтора раза меньше, т. е. 0,4x.

Значит, всего птиц на птицеферме x + 0,6x + 0,4x = 2x.

Поэтому вероятность случайно увидеть гуся равна 0,4x : 2x = 0,2.

Ответ. 0,2.

Пример 8. На фабрике керамической посуды 5% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка окажется с дефектом. Результат округлите до сотых.

Решение. Пусть всего произведено x тарелок. Тогда 0,05x тарелок имеют дефект, а 0,95x тарелок — без дефекта. Из 0,05x дефектных тарелок при контроле качества выявляется 0,8 · 0,05x = 0,04x тарелок, а не выявляется 0,05x − 0,04x = 0,01x тарелок. Эти не выявленные тарелки, а также тарелки без дефекта поступают в продажу, т. е. всего в продажу поступает 0,95x + 0,01x = 0,96x тарелок. При случайном выборе вероятность выбрать тарелку с дефектом равна 0,01x : 0,96x = 1: 96 ≈ 0,01.

Ответ. 0,01.

Пример 9. Поставщик заказывает одинаковые детали у двух фабрик. Первая фабрика выпускает 70% этих деталей, вторая—30%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных деталей, а вторая—5%. Найдите вероятность того, что случайно заказанная у поставщика деталь будет исправной.

Решение. Очевидно, что если один процент выпускаемых каждой фабрикой деталей будет равен целому числу, то и число дефектных деталей будет целым. Поэтому можно просто считать, что первая фабрика выпускает 700 деталей (и тогда 3% дефектных составят 21 штуку), а вторая фабрика выпускает 300 деталей (и тогда 5% дефектных составят 15 штук). Таким образом, общее число деталей будет равно 1000, а общее число дефектных деталей будет равно 36. Значит, исправных деталей окажется 964, и искомая вероятность составит 964 : 1000 = 0,964.

Ответ. 0,964.

Пример 10. Из водоплавающих животных в заповеднике обитают бобры, ондатры и выдры. Найдите вероятность того, что случайно встреченное в заповеднике водоплавающее животное окажется ондатрой, если из трёх следующих утверждений два истинны, а одно ложно: 1) бобры составляют 44% водоплавающих животных заповедника; 2) ондатры составляют 77% водоплавающих животных заповедника;

3) выдры составляют 33% водоплавающих животных заповедника.

Решение. Предположим, что утверждение 2 истинно. Тогда оба утверждения 1 и 3 ложны, так как общее число животных не может быть больше 100%. По условию только одно утверждение является ложным. Получили противоречие. Значит, утверждение 2 является ложным, а утверждения 1 и 3 истинны. Поэтому ондатры составляют

100% − 44% − 33% = 23% водоплавающих животных заповедника, а искомая вероятность равна 0,23.

Ответ. 0,23.

Пример 11. В магазине два отдела: галантереи и одежды. Если бы дневная выручка отдела галантереи увеличилась вчетверо, дневная выручка магазина выросла бы на 48%. На сколько процентов уменьшилась бы дневная выручка магазина, если бы дневная выручка отдела одежды сократилась втрое?

Решение. Увеличение в 4 раза выручки отдела галантереи означает, что к сумме выручки этого отдела добавляются ещё три такие суммы. Значит, одна такая сумма составляет 48 % : 3 = 16 % всей выручки магазина. Поэтому сумма дневной выручки отдела одежды равна 100 % − 16 % = 84 % всей выручки магазина. Если дневная выручка отдела одежды станет втрое меньше, то общая выручка магазина уменьшится на две трети от суммы выручки отдела одежды, что составит 2/3 · 84 % = 56 %.

Ответ. 56.

Пример 12. Процент числа учеников одиннадцатого класса, поехавших на экскурсию, заключён в пределах от 95,2% до 95,6%. Найдите наименьшее возможное число учеников этого класса.

Решение. Из условия следует, что процент учеников, не поехавших на экскурсию, заключён в пределах от 4,4 % до 4,8 % числа учеников этого класса. Число x учеников этого класса будет наименьшим из возможных, если на экскурсию не поехал всего один человек. Таким образом, 0,044x ≤ 1 ≤ 0,048x, откуда: x ≤ 1000 / 44 и x ≥ 1000 / 48.

Наименьшим целым числом x, удовлетворяющим двум последним неравенствам, является 21.

Ответ. 21.

Пример 13. В не високосном году клиент открыл вклад в банке 1 сентября сроком на 1 месяц под 12% годовых. Сколько рублей окажется на счёте вклада 1 октября того же года, если сумма вклада равна 100 000 рублей?

Решение. Воспользуемся формулой S = S₀(1+ р/100 ·m/365), где

S₀ = 100 000, р = 12, а m = 30 (поскольку в сентябре 30 дней).

Получим S = 100 000(1+0,12 ·30/365).

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0098630, поэтому S = 100986,30 (т. е. 100 986 рублей 30 копеек).

Ответ. 100 986,30.

Пример 14. Какой вклад выгоднее: первый — на 1 год под 13% годовых, или второй — на 3 месяца (с автоматической пролонгацией каждые три месяца в течение года) под 12% годовых? При расчётах считайте, что один месяц равен 1/12 части года.

Решение. Пусть S₀ — сумма вклада. Тогда по условиям первого депозита вкладчик через год получит 1,13 · S₀, а по условиям второго депозита он получит (1,03) ⁴ · S₀ = 1,12550881 · S₀, т. е. прибавка составит примерно 12,55%, а значит, первый вклад выгоднее.

Ответ. Первый.

Пример 15. Виктор взял в банке кредит сроком на 4 года под 16 % годовых. На сколько процентов сумма всех выплат банку окажется больше суммы кредита, если досрочное погашение кредита не предполагается?

Решение. Пусть S₀ — сумма кредита, Р – общая сумма всех начисленных процентов (переплат). Тогда Р = 16(4+1) / 200 · S₀ = 0,4·S₀.

Значит, сумма всех выплат составит 0,4 ·S₀ + S₀ = 1,4 · S₀, т. е. окажется на 40% больше суммы кредита.

Ответ. 40.

Пример 16. Иван планирует взять ипотечный кредит (кредит на покупку квартиры под залог квартиры) в банке на несколько лет под 10% годовых на следующих условиях: по истечении каждого года пользования кредитом он должен возвращать банку часть кредита, равную сумме кредита, делённой на число лет пользования кредитом (погашать кредит), и выплачивать банковские проценты за пользование кредитом в размере 10% от не погашенной к моменту очередного платежа суммы кредита. Так, если кредит взят на 5 лет, то за первый год пользования кредитом Иван должен выплатить пятую часть суммы кредита и 10% от всей суммы кредита, за второй год — пятую часть суммы кредита и 10% от непогашенной суммы кредита, т. е. от 4/5 суммы кредита, и т. п. При оформлении кредита банк предложил Ивану выплачивать кредит ежемесячными равными платежами последующей схеме: сумма кредита и сумма процентов за всё время пользования кредитом суммируются и делятся на число месяцев пользования кредитом. Иван принял предложение банка. Известно, что сумма ежемесячного платежа равна 30 000 рублей, а сумма начисленных процентов оказалась равна сумме кредита.

а) На сколько лет был взят кредит?

б) Чему равна сумма кредита (в рублях)?

Решение. Пусть сумма кредита равна S₀, годовые составляют р%, число лет кредита равно n. Тогда сумма Р выплат по процентам равна Р = р(n+1) / 200 · S₀.

а) По условию сумма процентов равна сумме кредита. Следовательно, р(n+1) / 200 · S₀ = S₀, откуда р(n+1) = 200. Поскольку р = 10, получим, что n=19.

б) Сумма l ежемесячного платежа по предложенной банком схеме находится по формуле l = S₀(р(n+1)+200) / 2400n,

откуда S₀ = 2400nl / (р(n+1) + 200).

Так как р = 10, n = 19, l = 30 000, находим, что

S₀ = 2400nl / 400 = 6nl = 6 · 19 · 30 000 = 3 420 000 рублей.

Ответ. а) 19; б) 3 420 000.

Пример 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев.

Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на р % по сравнению с концом предыдущего месяца;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите р.

Решение. Пусть сумма кредита равна S₀. По условию долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно, т. е. на 1/19

часть, поэтому суммы долга за каждый месяц (до начисления процентов) составят (в порядке убывания)

S₀, 18S₀/19 , …, 2S₀/19, S₀/19.

Первого числа каждого месяца долг возрастает на р%, поэтому последовательность размеров платежей по процентам будет следующей:

р/100 · S₀, р/100 · 18S₀/19, …, р/100 · 2S₀/19, р/100 · S/19.

Ежемесячный платёж состоит из фиксированной суммы S₀/19 и суммы платежа по процентам. Ежемесячные платежи составят соответственно

S₀/19 + р/100 · S₀,

S₀/19 + р/100 · 18S₀/19, …, S₀/19 + р/100 · 2S₀/19, S₀/19 + р/100 · S/19.

Общая сумма выплат будет равна S = S₀ + рS₀/1900 · (19+18+…+1), откуда

S = S₀ + рS₀/1900 · (1+19)/2 · 19 = S₀ + рS₀ /10.

По условию S = 1,3S₀. Следовательно, 1,3S₀ = S₀ + рS₀/10, откуда р/10 + 1 = 1,3, и р = 3.

Ответ. 3.

Пример 18. 31 декабря 2019 года бизнесмен взял в банке кредит на 3 года под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: до 31 ноября каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 10%), затем до истечения этого же платёжного периода (т. е. по 31 декабря того же года) бизнесмен переводит в банк определённую (одну и ту же для каждого года) сумму ежегодного платежа. Какой была сумма кредита (в рублях), если сумма ежегодного платежа составила 2 662 000 рублей?

Решение. Пусть S₀ — сумма кредита, x —сумма ежегодной выплаты.

Запишем суммы долга по истечении каждого платёжного периода:

S₁ = 1,1S₀− x;

S₂ = 1,1S₁ − x = (1,1)²S₀− 1,1x − x;

S₃ = 1,1S₂− x = (1,1)³S₀ − (1,1)²x −1,1x − x.

Поскольку по истечении последнего платёжного периода долг равен 0, имеем S₃ = 0, т. е. (1,1)³S₀ − (1,1)²x −1,1x − x = 0,

откуда ((1,1)²+1,1+1)x = (1,1)³S₀, т. е. 3,31x = 1,331S₀.

Так как x = 2 662 000, получаем, что

S₀ = 3,31 · 2 662 000/1,331 = 3,31 · 2 000 000 = 6 620 000.

Ответ. 6 620 000.

Пример 19. 1 января 2019 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич мог взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты не превышали 275 тыс. рублей?

Решение. Заметим, что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 1,1 млн рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами.

Каждый месяц долг увеличивается не более чем на 1 100 000 · 0,01= 11 000 рублей. Значит, за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более 1 100 000 + 5 · 11 000=1 155 000 рублей, что менее чем

5 · 275 000 = 1 375 000 рублей. Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев.

Ответ. 5.

Тренировочные задачи.

1. В городе проживало 36 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

2. Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 7 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

3. Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 24 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

4. В России налог на доходы физических лиц составляет 13%. Зарплата Марии Ивановны после удержания налога на доходы составила 60 900 рублей. Найти сумму зарплаты Марии Ивановны до удержания налога.

5. В школе 1000 учеников, из них 18% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 25% изучают французский язык. Сколько учеников в школе изучают французский язык, если в начальной школе французский язык не изучают?

6. Зарплата рабочего составляла 30 000 рублей, затем зарплату повысили на 30%, а потом понизили на 30%. Какую зарплату стал получать рабочий?

7. Елена сделала вклад в банк в размере 5500 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Спустя год Наталья положила такую же сумму в этот же банк и на тех же условиях. Ещё через год Елена и Наталья одновременно закрыли вклады и забрали деньги. В результате Елена получила на 739,2 рубля больше, чем получила Наталья. Найдите, какой процент годовых начислял банк по вкладам?

8. Предприниматель Петров получил в 2016 году прибыль в размере 25000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 110%110%110% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2019 год?

9. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 12% железа, второй — 28% железа. Масса второго сплава больше массы первого на 2 кг. Из этих двух сплавов изготовили третий сплав с содержанием железа 21%. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах

10. Цена телевизора в магазине ежеквартально (в квартале — три месяца) уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Известно, что телевизор, стоимостью 50 000 рублей был продан спустя два квартала за 41 405 рублей. Найдите, на сколько процентов ежеквартально уменьшалась стоимость телевизора.

11. В 2017 году в посёлке проживало 55 000 человек. В 2018 году, в результате строительства новых домов, число жителей увеличилось на 6%, а в 2019 году — на 10% по отношению к 2018 году. Найдите, число жителей посёлка в 2019 году.

12. Строительные фирмы учредили компанию с уставным капиталом 300 млн рублей. Первая фирма внесла 20% уставного капитала, вторая фирма — 22,5 млн рублей, третья — 0,3 уставного капитала, четвертая фирма внесла оставшуюся часть.

13. После открытия торгов на бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в цене в понедельник?

14. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 10 %. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто.

15. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

16. В емкости находится 7 литров водного раствора с концентраций вещества, равной 16%. В емкость добавили еще 9 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным содержанием вещества) получился после этого?

17. В свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 25 килограммов кураги?

18. Имеются 3 раствора морской соли в воде: первый раствор содержит 10% соли, второй содержит 15% соли и третий — 20% соли. Смешали 130 мл первого раствора, 200 мл второго раствора и 170 мл третьего раствора. Определите сколько процентов составляет морская соль в полученном растворе.

19. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5%-й раствор?

20. В банке взяли кредит на сумму 160 000 рублей под р % годовых (в конце года сумма долга увеличивается на р %) и выплатили его двумя платежами - сначала 79 200 рублей, а затем 112 ООО рублей. Найдите р.

21. В сентябре планируется взять кредит в' банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 2,5% по сравнению с концом предыдуущего года; - с февраля по август каждый год необходимо выплатить часть долга; - в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года. Чему равна общая сумма выплат (в млн рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты долга составит 7,74 млн рублей?

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 11 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на р % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем. Найдите наименьшую возможную ставку р, если известно, что последний платёж будет не менее 1,265 млн рублей.

2. Клиент взял в банке 5 000 000 рублей в кредит под 10% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа в рублях, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ округлите до целого числа рублей.)

3. Какой вклад выгоднее: первый — на 1 год под 15% годовых или второй — на 6 месяцев (с автоматической пролонгацией каждые шесть месяцев в течение года с момента открытия вклада) под 14% годовых?

4. Вклад в размере 6 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 15 млн рублей. Ответ дайте в млн рублей.

Заключение

Решение задач на проценты не так уж сложно как может показаться на первый взгляд. Если с учащимися разобрать основные правила решения задач данного вида, то на экзамене они не вызовут огромного затруднения. Тем более, что умение решать процентные задачи пригодится и на уроках химии, физики, географии, биологии.

Список использованной литературы и источников

1. Математика: Новый полный справочник для подготовки к ЕГЭ / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — Москва: АСТ, 2017. — 559,[1] с.: ил.

2. ЕГЭ 2017. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. Электронное издание. М.: МЦНМО, 2017. 208 с.

3. https://math-ege.sdamgia.ru/prob_catalog

Богомолова Ольга Михайловна

учитель математики МБОУ СОШ №6 городского округа город Шарья Костромской области