Методическая разработка по теме "Функции и графики".

Графики функций.

Построение графиков.

1. График функции получается параллельным переносом графика функции относительно оси ординат на единиц вверх при и на единиц вниз при .

2. График функции получается параллельным переносом графика функции относительно оси абсцисс на единиц влево при и на единиц вправо при .

3. График функции , где , получается сжатием графика функции к оси абсцисс в раз при , и его растяжением раз от оси абсцисс при .

4. График функции , где , получается растяжением в раз графика функции от оси ординат при и его сжатием к оси ординат в раз при .

5. График функции получается зеркальным отображением графика функции относительно оси абсцисс.

6. График функции получается зеркальным отображением графика функции относительно оси ординат.

7. График функции _{является объединением} части графика функции , лежащей выше оси абсцисс, с образом оставшейся части этого графика при симметрии относительно оси .

8. График функции _{является объединением}

части графика функции , лежащей правее оси ординат, с образом этой же части при симметрии относительно оси .

Функции, связанные с линейной функцией.

Постройте графики функций:

1. .

Вспомогательные графики:

; ; ; ; -1.

2) ;

.

1. . Область определения функции: . .

1. Решите уравнение , где .

Решение. .

Так как при всех , то . Следовательно, при графики функций и совпадают. Найдем абсциссу точки пересечения графиков и при . Решим уравнение ; .

Ответ: ; .

Функции, связанные с квадратичной функцией.

1. Постройте графики функций:

_а) б)

_{Вспомогательные графики: Вспомогательные графики:}

; ; ; . ; .

в) г)

1. Постройте график функции и, используя его, укажите:

1) Промежутки возрастания функции

Ответ: ; .

2) Множество значений функции

Ответ: .

3) Промежутки убывания функции и все значения, принимаемые функцией нечетное число раз.

Так как - четная функция, то достаточно построить ее график на промежутке , а затем симметрично отобразить его относительно оси ординат. При . Вспомогательный график: .

Ответ: ; ; . Значение -1 функция принимает 3 раза.

4) Промежутки убывания функции и ее наибольшее значение на промежутке .

.

Промежутки убывания функции: ; ; наибольшее значение функции на промежутке

Ответ: ; ;

5) Множество значений функции и ее наименьшее значение на промежутке .

.

Ответ: ; .

Метод областей на плоскости

1. На координатной плоскости постройте множество точек, удовлетворяющих условию:

1. .

Последовательно раскрывая модули, получим совокупность следующих 4 систем:

; .

1. .

.

При построим график функции и отобразим его симметрично относительно оси абсцисс.

4)

5)

6) .

Очевидно, что множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, должно быть симметрично относительно оси ординат и прямой .

Поэтому построим ту его часть, которая удовлетворяет системе , затем достроим его симметрично относительно прямых и .

Решение задач с параметрами при помощи графиков

1. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение. ;

Ответ: ; .

1. Уравнение имеет ровно один корень. Для найденного значения решите уравнение.

. Область определения: .

При . Это значение функция принимает при .

При . Это значение функция принимает при . .

Ответ: при ; при ; при .

1. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение. Преобразуем выражение: при .

Значит, при , при функция не определена. Построим ветвь гиперболы при и удалим точку . Затем построим вторую часть графика симметрично первой относительно оси ординат.

Следовательно, прямая не имеет с графиком ни одной общей точки, если она горизонтальна, либо проходит через одну из удаленных точек или . Этим случаям соответствуют значения ; и .

Ответ: ; ; .

1. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет ровно три различных решения.

Решение. Построим график функции .

.

При всех действительных значениях графики функций проходят через точку , т.е. представляют собой пучок прямых, проходящих через указанную точку. Очевидно, что при прямая пересекает график функции только в двух точках, и условие задачи не выполняется.

При прямая имеет с графиком три общие точки.

Для того чтобы при уравнение имело три корня, необходимо и достаточно, чтобы прямая касалась графика функции при . Найдем, при каких значениях дискриминант уравнения равен нулю. Имеем

; ; .

При уравнение имеет корень , при - корень , не удовлетворяющий указанному выше условию.

Ответ: ; .

16