Методическая разработка "Средняя линия треугольника"

Тема урока :

Средняя линия треугольника

ЦЕЛИ УРОКА:

• дать определение средней линии треугольника,
• доказать теорему о средней линии треугольника,
• решать задачи, используя определение и свойство средней линии.

Устная работа

• Дан ∆ АВС, прямая XY параллельна прямой AC .

Доказать, что угол 1 равен углу 2 .

В

Х

Y

1

2

А

С

Устная работа

• Дан ∆ АВС, прямая XY параллельна прямой AC .

Доказать, что угол 1 равен углу 2 .

Доказательство:

В

1= 2 как соответственные углы при параллельных прямых XY и АС и секущей АВ

Х

Y

1

2

А

С

• Прямая АВ параллельна прямой CD, AD и СВ секущие. Доказать, что ∆ АОВ ~ ∆ DO С

A

B

O

C

D

• Прямая АВ параллельна прямой CD, AD и BD секущие. Доказать, что ∆ АОВ ~ ∆ DO С

Доказательство:

BAO = ODC как соответственные углы при параллельных прямых

BA и DC и секущей А D .

BOA = DOC как вертикальные.

Δ AOB ~ Δ DOC

по 1 признаку подобия треугольников

A

B

O

D

C

Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

В

AM = MB

BN = NC

М

N

С

А

М N – средняя линия треугольника АВС .

Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

В

AM = MB

BN = NC

М

N

С

А

М N – средняя линия треугольника АВС .

Устно:

а)

в)

г)

б)

Задание: Постройте произвольный треугольник и проведите в нем средние линии.

Сколько средних линий имеет треугольник ?

DF, DE, EF – средние линии ∆ АВС

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Дано: Δ АВС, М N – средняя линия.

Доказать: М N || АС, М N = ∙ АС

Доказательство:

В

• Δ АВС ~ Δ ВМ N , по 2 признаку подобия, т.к. ВМ:ВА = В N :ВС=1:2 и угол В – общий.

N

М

• ВМ N = ВАС, а они соответственные при прямых М N и АС и секущей АВ.

Значит, М N || АС.

3. Т.к. ВМ:ВА =1:2, то и М N :АС=1:2,

Поэтому М N = ∙ АС ч.т.д.

С

А

4

Устно:

1. Сколько треугольников вы видите?

2. Есть ли равные треугольники? Почему?

3. Сколько параллелограммов на рисунке?

Устно:

1. Сколько треугольников вы видите?

∆ ADF, ∆ DBE, ∆ ECF, ∆ DEF, ∆ ABC

2. Есть ли равные треугольники? Почему?

∆ ADF= ∆ DBE= ∆ ECF= ∆ DEF

3. Сколько параллелограммов на рисунке?

ADEF, DBEF, ECFD

Являются ли отрезки EF и CD средними линиями ∆ АВС и ∆ MNK ?

1.

2.

4.

3.

5.

6.

Являются ли отрезки EF и CD средними линиями ∆ АВС и ∆ MNK ?

нет

нет

1.

2.

да

да

4.

3.

да

нет

6.

5.

Задача 1

1

Решение:

Задача 1

1

Ответ: 10 см

Задача 2

Решение:

Задача 2

Ответ: 5 см

Задача 3

Доказательство:

Задача 3

Доказательство:

Задача 3

Решение:

Задача 3

Решение:

Задание

Посмотрите видео с решением задачи: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1

Вопрос

Ответ

Сформулируйте теорему о накрест лежащих углах при параллельных прямых и секущей.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Сформулируйте второй признак подобия треугольников.

Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Сформулируйте свойство высоты равнобедренного треугольника.

Высота равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой

Задача

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Решение: Пусть в ∆ АВС: AM , BD , CN - медианы. Р – точка их

пересечения. Тогда MN - средняя линия ∆ АВС, поэтому

MN║ СА, MN = ∙АС

∆ АСР ˷ MNP по двум углам, т.к. NMP= PAC MNP= PCA

как накрест лежащие углы при MN║ СА и секущих МА и NC .

Аналогично

Так как попарно точкой пересечения медианы делятся в одном и том же отношении, то они пересекаются в одной точке.

Задача

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Решение:

Задача

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Решение: Пусть в ∆ АВС: AM , BD , CN - медианы. Р – точка их

пересечения. Тогда MN - средняя линия ∆ АВС, поэтому

MN║ СА, MN = ∙АС

∆ АСР ˷ MNP по двум углам, т.к. NMP= PAC и MNP= PCA

как накрест лежащие углы при MN║ СА и секущих МА и NC .

Аналогично

Так как попарно точкой пересечения медиан ы делятся в одном и том же отношении, то они пересекаются в одной точке.

Задача

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Решение: Пусть в ∆ АВС: AM , BD , CN - медианы. Р – точка их

пересечения. Тогда MN - средняя линия ∆ АВС, поэтому

MN║ СА, MN = ∙АС

∆ АСР ˷ MNP по двум углам, т.к. NMP= PAC и MNP= PCA

как накрест лежащие углы при MN║ СА и секущих МА и NC .

Аналогично

Так как попарно точкой пересечения медиан ы делятся в одном и том же отношении, то они пересекаются в одной точке.

Задача

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Решение: Пусть в ∆ АВС: AM , BD , CN - медианы. Р – точка их

пересечения. Тогда MN - средняя линия ∆ АВС, поэтому

MN║ СА, MN = ∙АС

∆ АСР ˷ MNP по двум углам, т.к. NMP= PAC и MNP= PCA

как накрест лежащие углы при MN║ СА и секущих МА и NC .

Аналогично

Так как попарно точкой пересечения медиан ы делятся в одном и том же отношении, то они пересекаются в одной точке.

Задача

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Решение:

Задача

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Решение: Пусть в ∆ АВС: AM , BD , CN - медианы. Р – точка их

пересечения. Тогда MN - средняя линия ∆ АВС, поэтому

MN║ СА, MN = ∙ АС

∆ АСР ˷ MNP по двум углам, т.к. NMP= PAC MNP = PCA

как накрест лежащие углы при MN║ СА и секущих МА и NC .

Аналогично

Так как попарно точкой пересечения медианы делятся в одном и том же отношении, то они пересекаются в одной точке.

2

Задание

Посмотрите видео с доказательством теоремы:

• Сформулируйте теорему о накрест лежащих углах при параллельных прямых и секущей.
• Сформулируйте второй признак подобия треугольников.
• Сформулируйте свойство высоты равнобедренного треугольника.

Вопрос

Ответ

Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8 см. Найти периметр этого треугольника.

48

Найти площадь треугольника, если высота, проведенная к одной из его сторон, равна 10, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 5.

50

В треугольнике АВС найдите РЕ, если

АС = 10,8 см. РЕ =

5,4

В треугольнике АВС найдите РЕ, если

РЕ = 10,4 см. АС =

20,8

Вопрос

Ответ

Отрезок XY не является средней линией треугольника на рисунке под буквой:

в

Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8 см. Найти периметр этого треугольника.

Решение:

В

С

А

Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8 см. Найти периметр этого треугольника.

Решение: по свойству средней линии

М N = ∙ АС, тогда АС=16 см

Р АВС =3∙АС=3∙16=48 см Ответ: Р АВС =48 см

В

м

N

С

А

Задача

Найти площадь треугольника, если высота, проведенная к одной из его сторон, равна 10, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 5.

Решение:

В

К

М

А

Н

С

Задача

Найти площадь треугольника, если высота, проведенная к одной из его сторон, равна 10, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 5.

Решение:

S АВС = ∙АС=3∙16=48 см

В

К

М

А

Н

С

Задача

Найти площадь треугольника, если высота, проведенная к одной из его сторон, равна 10, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 5.

В

К

М

S  АВС = 5 0 см²

А

Н

С

Подведем итог

• Какие новые знания получены на уроке?
• Что называют средней линией треугольника?
• Сформулируйте теорему о средней линии треугольника.
• Сформулируйте теорему о свойстве медиан треугольника.

3, 5

3

4

1.

B

2. Дано: MN || AC .

Найти: Р∆АВС

M

N

A

C