Методическое пособие для студентов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Ярославский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный университет путей сообщения»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ

Математика

Методические указания и контрольные задания

для студентов заочной формы обучения

23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте

(по видам транспорта)»

Ярославль

2016

РАССМОТРЕНО Цикловой комиссией «Наименование ЦК» ____________________ ФИО ПЦК Протокол № __ от ____ .____.2016 г.

УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора филиала по учебно-методической работе _________ М.К. Лебедев «___»___________ 2016 г.

Методические рекомендации и контрольные задания для студентов заочной формы обучения составлены в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования по специальности 23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте (по видам транспорта)» (базовая подготовка) и рабочей программой учебной по дисциплине ЕН.01 Математика.

Методические указания и контрольные задания рассмотрены и одобрены на заседании цикловой комиссии «Математических дисциплин, ИКТ и электроснабжения», утверждены заместителем директора филиала по учебно-методической работе.

Организация-разработчик: Ярославский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения».

Разработчик: Шалина С.Г., преподаватель Ярославского филиала МИИТ.

Рецензенты:

С.А. Ульянова, старший методист, методический отдел Ярославского филиала МИИТ;

В.А. Ползикова, методист, методический отдел Ярославского филиала МИИТ.

Для использования, размножения и переработки необходимо подать заявку в железнодорожный техникум Ярославского филиала МИИТ. 150048 г. Ярославль, Московский проспект, д. 151, телефон (4852) 44-99-36

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка	4
Требования федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования к результатам освоения учебной дисциплины	6
Содержание учебной дисциплины	8
Объем учебной дисциплины и виды учебной работы по заочной форме обучения	14
Информационное обеспечение обучения	15
Методические указания по выполнению домашней контрольной работы
Контрольные задания
Содержание промежуточной аттестации
Список используемых источников

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания и контрольные задания по учебной дисциплине предназначены студентам заочной формы обучения по специальности 23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте (по видам транспорта)» (базовая подготовка) среднего профессионального образования при освоении программы учебной дисциплины ЕН.01 Математика математического и общего естественнонаучного цикла.

Основной целью данных методических рекомендаций является методическое обеспечение реализации федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальности в части освоения студентами заочной формы обучения вышеуказанной учебной дисциплины в соответствии с рабочей программой.

Студентам следует помнить, что все требования федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования к результатам освоения учебной дисциплины и к ее содержанию является обязательными для изучения и освоения. Содержание этих требований отражено в данных методических рекомендациях.

Приступая к изучению учебной дисциплины, необходимо познакомиться с ее содержанием, уяснить ее объем, руководствуясь приведенным списком информационных источников. Учебно-методические материалы по дисциплине изучаются студентами самостоятельно в соответствии с рабочими программами и графикам учебного процесса.

Согласно учебного плана студентами выполняются домашние контрольные работы. Домашняя контрольная работа является одной из форм проверки и оценки усвоенных студентом знаний, а так же средством самоконтроля. Выполнять их следует в соответствии с установленными учебным планом и графиком учебного процесса сроками сдачи. Работа, выполненная не по своему варианту, не зачитывается и возвращается без оценки.

Для выполнения домашней контрольной работы необходимо:

• ознакомиться с общими вопросами организации и выполнения самостоятельной работы студентов заочной формы обучения, а также правилами представления ее результатов по методическому пособию «Общие вопросы организации самостоятельной работы студентов обучающихся по заочной форме обучения»;

• ознакомиться со структурой и содержанием данных методических указаний;

• определить свой вариант, выбор которого зависит от последней цифры шифра студента (если шифр заканчивается на цифру 1, то выполняется первый вариант, на цифру 2 – второй вариант и т.д., если шифр заканчивается на 0, то студент выполняет 10-й вариант) или по таблице выбора вариантов, которая помещена в данном пособии;

• выполнить все задания по всем пунктам.

Домашняя контрольная работа может выполняться, в зависимости от требований преподавателя, двумя способами:

1. письменно (отпечатано), оформленная в соответствии с установленными требованиями, сдается на заочное отделение для проверки преподавателем;

2. в электронном виде, высылается через обмен файлами системы дистанционного обучения «Прометей» тьютору (преподавателю) ведущему данную учебную дисциплину.

ТРЕБОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

(выдержка из стандарта)

В соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования по специальности 23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте (по видам транспорта)»(базовая подготовка) освоение учебной дисциплины ЕН.01 Математика должно обеспечить:

1. формирование у студентов общих компетенций, включающих в себя способность:

   ОК 1.	Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
   ОК 2.	Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
   ОК 3.	Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.
   ОК 4.	Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
   ОК 5.	Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.
   ОК 6.	Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
   ОК 7.	Ставить цели, мотивировать деятельность подчиненных, организовывать и контролировать работу с принятием на себя ответственности за результат выполнения заданий
   ОК 8.	Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
   ОК 9.	Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.

2. формирование у студентов профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности:

   5.2.1	Организация перевозочного процесса (по видам транспорта)
   ПК 1.3	Оформлять документы, регламентирующие организацию перевозочного процесса.
   5.2.2	Организация сервисного обслуживания на транспорте (по видам транспорта)
   ПК 2.1	Осуществлять планирование и организацию перевозочного процесса.
   5.2.3	Организация транспортно- логистической деятельности (по видам транспорта)
   ПК 3.1	Организовывать работу персонала по оформлению и обработке документации при перевозке грузов и пассажиров и осуществлению расчетов за услуги, предоставляемые транспортными организациями.

3. приобретение студентами предметных знаний и умений:

студент должен уметь:

-применять математические методы дифференциального и

интегрального исчисления для решения профессиональных задач;

• применять основные положения теории вероятностей и математической статистики в профессиональной деятельности;

• использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях;

• решать прикладные электротехнические задачи методом комплексных чисел.

студент должен знать:

• использовать изученные прикладные программные средства;

• основные понятия автоматизированной обработки информации, общий состав и структуру электронно-вычислительных машин и вычислительных систем;

• базовые системные продукты и пакеты прикладных программ.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

(выдержка из рабочей программы)

Формирование общих и профессиональных компетенций, а также приобретение необходимых умений и знаний обеспечивается предметным содержанием, которое включает в себя:

Наименование разделов и тем	Содержание учебного материала, лабораторные работы и практические занятия, самостоятельная работа студентов, курсовая работа (проект) (если предусмотрены)
1	2
Тема 1. Введение	Содержание учебного материала Математика и научно-технический прогресс; понятие о математическом моделировании. Роль математики в подготовке специалистов среднего звена железнодорожного транспорта и формировании общих и профессиональных компетенций
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебных изданий и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебных изданий, а также составленных преподавателем). Осуществление поиска, анализа и оценки дополнительной информации по содержанию учебного материала и определению задач своего профессионального и личностного развития
Раздел 1. Математический анализ
Тема 1.1. Дифференциальное и интегральное исчисление	Содержание учебного материала Функции одной независимой переменной. Пределы. Непрерывность функций. Производная, геометрический смысл. Исследование функций. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Функции нескольких переменных. Приложения интеграла к решению прикладных задач. Частные производные
	Практические занятия 1 Вычисление производной сложных функций. 2 Вычисление простейших определенных интегралов. 3 Расчет сопряжений с применением производной в инженерной графике. 4 Определение максимума мощности в цепи постоянного тока с применением производной. 5 Вычисление площадей и объемов при проектировании объектов транспорта с применением определенного интеграла
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспекта занятия, учебных изданий и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебных изданий, а также составленных преподавателем), поиск, анализ и оценка дополнительной информации по содержанию учебного материала и определению профессионально значимых задач. Подготовка к практическим занятиям с использованием методических рекомендаций преподавателя. Оформление отчетов по практическим занятиям
Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения	Содержание учебного материала Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частые решения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
	Практические занятия 6 Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебной и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебной литературы, а также составленных преподавателем), поиск, анализ и оценка дополнительной информации по содержанию учебного материала и определению профессионально значимых задач. Подготовка к практическому занятию с использованием методических рекомендаций преподавателя. Оформление отчета по практическому занятию
Тема 1.3. Ряды	Содержание учебного материала Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости рядов. Интегральный признак Коши. Признак Лейбница. Степенные ряды. Ряды Фурье
	Практические занятия 7 Разложение функций в ряд Фурье. 8 Расчет электрических цепей несинусоидальных периодических токов с применением рядов Фурье. 9 Оценка результатов тестового эксперимента эффективности работы механизмов и оборудования на железнодорожном транспорте по средствам, определение сходимости числового ряда по признаку Даламбера
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебных изданий и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебных изданий, а также составленных преподавателем), поиск, анализ и оценка дополнительной информации по содержанию учебного материала и определению профессионально значимых задач. Подготовка к практическим занятиям с использованием методических рекомендаций преподавателя. Оформление отчетов по практическим занятиям
Раздел 2. Основы дискретной математики
Тема 2.1. Основы теории множеств	Содержание учебного материала Множество и его элементы. Пустое множество, подмножества некоторого множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Понятие функции и способы ее задания; композиция функций. Отношения; их виды и свойства. Диаграмма Венна. Числовые множества
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебных изданий и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебных изданий, а также составленных преподавателем). Решение задач и упражнений
Тема 2.2. Основы теории графов	Содержание учебного материала История возникновения понятия графа. Задачи, приводящие к понятию графа. Определение графа, виды графов: полные, неполные. Элементы графа: вершины, ребра; степень вершины. Цикл в графе. Связанные графы. Деревья. Ориентированный граф. Изображение графа на плоскости. Применение теории графов при решении профессиональных задач в экономике и логистике
	Практические занятия 10 Построение графа по условию ситуационных задач: в управлении инфраструктурами на транспорте; в структуре взаимодействия различных видов транспорта, в формировании технологического цикла оказания услуг на транспорте
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебной и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебной литературы, а также составленных преподавателем). Подготовка к практическому занятию с использованием методических рекомендаций преподавателя. Оформление практических занятий и отчетов
Раздел 3. Основы теории вероятности и математической статистики
Тема 3.1. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей	Содержание учебного материала Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Применение теории вероятности при решении профессиональных задач
	Практические занятия 11 Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей. 12 Решение задач на нахождение вероятности события при изучении и планировании рынка услуг на транспорте
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебной и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебной литературы, а также составленных преподавателем), поиск, анализ и оценка дополнительной информации по содержанию учебного материала и определению профессионально значимых задач. Подготовка к практическим занятиям с использованием методических рекомендаций преподавателя. Оформление отчетов по практическим занятиям
Тема 3.2. Случайная величина, ее функция распределения	Содержание учебного материала Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины
	Практические занятия 13 По заданному условию построение рядов распределения случайной величины
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебных изданий и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебных изданий, а также составленных преподавателем), поиск, анализ и оценка дополнительной информации по содержанию учебного материала и определению профессионально значимых задач. Подготовка к практическому занятию с использованием методических рекомендаций преподавателя. Оформление отчетов по практическому занятию
Тема 3.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины	Содержание учебного материала Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины
	Практические занятия 14 Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины законом распределения. 15 Решение задач на нахождение математического ожидания и дисперсии при оценке эффективности заказов и обслуживания потребителей услуг и при оценке систем надежности, безопасности и качества услуг на железнодорожном транспорте
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебной и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебной литературы, а также составленных преподавателем). Подготовка к практическим занятиям с использованием методических рекомендаций преподавателя. Оформление отчетов по практическим занятиям. Осуществление поиска, анализа и оценки дополнительной информации по содержанию учебного материала и определению профессионально значимых задач. Определение методов и способов выполнения профессиональных задач, оценка их эффективности и качества
Раздел 4. Основные численные методы
Тема 4.1. Численное интегрирование	Содержание учебного материала Понятие о численном дифференцировании. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона. Применение численного дифференцирования при решении профессиональных задач. Формулы прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона. Абсолютная погрешность при численном интегрировании
	Практические занятия 16 Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона. Оценка погрешности
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебной и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебной литературы, а также составленных преподавателем). Подготовка к практическому занятию с использованием методических рекомендаций преподавателя. Оформление отчета по практическому занятию. Осуществление поиска, анализа и оценки дополнительной информации по содержанию учебного материала и определению профессионально значимых задач. Определение метода и способа выполнения профессиональных задач, оценка их эффективности и качества
Тема 4.2. Численное дифференцирование	Содержание учебного материала Численное дифференцирование. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона. Погрешность в определении производной
	Практические занятия 17 Решение задач на нахождение по таблично заданной функции (при n = 2), функции, заданной аналитически. 18 Исследование свойств этой функции для определения эффективности планирования технического цикла эксплуатации электроснабжения на железнодорожном транспорте
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебной и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебной литературы, а также составленных преподавателем). Подготовка к практическому занятию с использованием методических рекомендаций преподавателя. Оформление отчета по практическому занятию. Решение ситуационных и производственных (профессиональных) задач, определение способов выполнения профессиональных задач, оценка их эффективности и качества. Осуществление поиска, анализа и оценки дополнительной информации по содержанию учебного материала и определению профессионально значимых задач. Определение метода и способа выполнения профессиональных задач, оценка их эффективности и качества
Тема 4.3. Численное решение обыкновенных дифферен­циальных уравнений	Содержание учебного материала Построение интегральной кривой. Метод Эйлера
	Практические занятия 19 Определение количества электроэнергии, затраченной на тягу поездов в зависимости от плана и профиля пути с использованием метода Эйлера, решение обыкновенных дифференциальных уравнений
	Самостоятельная работа студентов Проработка конспектов занятий, учебных изданий и дополнительной литературы (по вопросам к разделам и главам учебных изданий, а также составленных преподавателем). Подготовка к практическому занятию с использованием методических рекомендаций преподавателя. Оформление отчета по практическому занятию. Решение ситуационных и производственных (профессиональных) задач, определение способов выполнения профессиональных задач, оценка их эффективности и качества. Подготовка к зачету. Примерная тематика сообщений (докладов) прикладного характера: История становления теории исследования операций как науки. Теория расписания. Методы планирования. Применение теории исследования операций при решении профессиональных задач в области формирования технологического цикла эксплуатации машин и оборудования на транспорте (управление инфраструктурами на железнодорожном транспорте). Структура и взаимодействие различных видов транспорта. Применение систем оценки надежности и безопасности работ на железнодорожном транспорте

ОБЪЕМ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

ПО ЗАОЧНОЙ ФОРМЕ ОБУЧЕНИЯ

(выдержка из рабочей программы)

В соответствии с рабочим учебным планом по заочной форме обучения виды учебной работы по учебной дисциплине и количество часов на их выполнение распределяется в соответствии со следующее таблицей:

Вид учебной работы	Объем часов
Максимальная учебная нагрузка (в соответствии с учебным планом по дневной форме обучения)	99
Обязательная аудиторная учебная нагрузка (в соответствии с учебным планом по заочной форме обучения)	12
в том числе:
лабораторные работы	8
практические занятия	4
курсовая работа (проект)
Самостоятельная работа студента (всего)	87
в том числе:
внеаудиторная самостоятельная работа с основными и дополнительными информационными источниками
выполнение домашней контрольной работы
самостоятельная работа над курсовой работой (проектом)
подготовка к промежуточной и итоговой аттестации по учебной дисциплин

Домашние контрольные работы (количество)	1
Итоговая (классная) письменная контрольная работа (количество)	-
Промежуточная аттестация по учебной дисциплине (форма)	-
Итоговая аттестация по учебной дисциплине (форма)	Дифференцированный зачет

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБУЧЕНИЯ

(выдержка из рабочей программы)

Изучение учебной дисциплины обеспечивается следующими информационными источниками:

Основные источники:

1. Богомолов Н.В. Математика: Учебник для ССУЗов. М.: Дрофа, 2006.

2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: Учебное пособие для ССУЗов. М.: Дрофа, 2007.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для ССУЗов. М.: Дрофа, 2007.

Дополнительные источники:

1.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб пособие.-М.: Наука.

2.Дадаян А.А. Математика: Учебник.-М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003.«Математика»: учебно-методический журнал, издательский дом «Первое сентября».

Интернет-ресурсы:

1. «Квант»: журнал. Форма доступа: www.kvant.mirror1.mccme.ru

2.Коллекция цифровых образовательных ресурсов. Форма доступа: http://shool-collection.edu.ru

3. Электронная библиотека. Форма доступа: www.math.ru/lib

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Требования к выполнению и оформлению домашней контрольной работы.

А).Работа выполняется в отдельной тетради школьного формата.

Б).На обложке тетради должен быть приклеен титульный лист утвержденного образца, где аккуратно записываются все данные (шифр, специальность, ФИО студента, ФИО преподавателя, дисциплина и № работы).

В).Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.

Г).Каждую задачу надо начинать с новой страницы.

Д).Решение желательно располагать в порядке номеров, указанных в задании, номера задач следует указывать перед условием.

Е).Условия задач должны быть обязательно переписаны полностью в контрольную тетрадь.

Ж).При оформлении записей в тетради необходимо выполнять общие требования к культуре их ведения.

З).Решения должны сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

И).Чертежи следует выполнять карандашом с использованием чертежных инструментов, соблюдая масштаб.

К).В конце работы следует указать литературу, которой вы пользовались, проставить дату выполнения работы и подпись.

Л).Если в работе допущены недочеты и ошибки, то учащийся должен выполнить все указания преподавателя, сделанные в рецензии.

М).Контрольные работы должны быть выполнены в срок( в соответствии с учебным планом-графиком). В период сессии работы на проверку не принимаются.

Н).Работа, выполненная не по своему варианту, не учитываются и возвращаются студенту без оценки.

О).Студенты, не имеющие зачтенные контрольные работы, к дифференцированному зачету не допускаются.

П).При решении задач рекомендуем придерживаться следующих советов:

-внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с некоторыми ее элементами;

-не следует приступать к решению задачи, не обдумав условия и не найдя плана решения;

-попытайтесь соотнести данную задачу к какому-либо типу задач, способ решения которых вам известен;

-найдя план решения, выполните его, убедитесь в необходимости и правильности каждого шага, произведите проверку решения и, если нужно, его исследование;

-подумайте, нельзя ли было решить задачу иначе; известно, что одна и та же задача может иметь несколько решений, поэтому следует выделить наиболее рациональное;

-если решить задачу не удается, отыщите в учебной (или популярной) литературе уже решенную задачу, похожую на данную, изучите внимательно это «готовое» решение и постарайтесь извлечь из него пользу для решения своей задачи.

2. Для того, чтобы выполнить задания №1,№2,№3 домашней контрольной работы необходимо изучить теоретический материал раздела «Математический анализ», рассмотреть решенные задачи и попытаться решить упражнения для тренировки.

Основные теоретические сведения

Определение. Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Обозначается f’(x).

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной: производная функции в точке х_о равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику данной функции в данной точке.

Механический смысл производной: мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени есть производная от пути по времени:

Правила дифференцирования:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

Таблица производных

(xⁿ)′ = n·x^n-1

(sin x)′ = cos x

(cos x)′ = – sinх

(e^x)′ = e^x

(a^x)′ = a^x ·ln a

Пример1. Найти производную:

5) 6)

Решение.

1) .

2) Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: .

.

3) Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: .

.

4) Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: .

.

5)

6) .

Пример2. Найти производную сложной функции: 1)

2) 3) 4) .

Решение. Производная сложной функции вычисляется по правилу дифференцирования 6.

1)

2) Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: .

3) .

4) Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: .

.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке, если в любой точке этого промежутка её производная равна f(x):

.

Отыскание первообразной функции есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.

Определение. Совокупность первообразных для функции f(x) называется неопределённым интегралом и обозначается символом . Таким образом:

, где f(x)dx – подынтегральное выражение, С – постоянная.

Свойства неопределённого интеграла.

1) Неопределённый интеграл суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций.

2) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак неопределённого интеграла.

3) Если функция имеет вид f(kx+b), то неопределённый интеграл вычисляется по формуле: .

Таблица первообразных

B - const	Bx + C
x n , n ≠ -1
	Ln + C
e x	e x + C
sin x	- cos x + C
cos x	sin x + C
	tg x + C
	- ctg x + C
ax , a0

Определение. Приращение F(b) – F(a) любой из первообразных некоторой функции при изменении аргумента от х = а до х = b называется определённым интегралом от а до b функции f(x) и обозначается . Числа а и b называются пределами интегрирования.

При вычислении определённого интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: .

Пример 3. Найти: .

Решение. 1) ;

2) ;

3) .

Пример 4. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) ;

2)

3)

4)

Определение. Числовым рядом называется сумма вида: , где числа , называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм Если при бесконечном возрастании номера n сумма ряда S_n стремится к пределу S, то такой рад называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда.

Если частичная сумма S_n при неограниченном возрастании п не имеет конечного предела, то такой ряд называется расходящимся.

Тригонометрическим рядом Фурье для функции f(x) в промежутке изменения аргумента -  х   называется ряд вида

или короче: ,

где - коэффициенты ряда, называемые коэффициентами Фурье.

Разложение функции в тригонометрический ряд имеет важное значение в прикладных науках. Такое разложение называют гармоническим анализом.

Чтобы разложить периодическую функцию f(x) с периодом 2 в тригонометрический ряд, нужно найти коэффициенты этого ряда, которые вычисляются по формулам:

,

, .

Упражнения для тренировки

Найти следующие интегралы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

Вычислить определённые интегралы:

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

71.

72.

Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции:

73. в промежутке -  х .

74. в промежутке - х .

75. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию в промежутке - х .

3. Для того, чтобы выполнить задание №4 домашней контрольной работы необходимо изучить теоретический материал раздела «Математический анализ», рассмотреть решенные задачи и попытаться решить упражнения для тренировки.

Основные теоретические сведения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x , искомую функцию y и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x,y,y’)=0, F(x,y,y”)=0, F(x,y,y”, …,y⁽ⁿ⁾)=0.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

А затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

.

1.Найти общее решение уравнения x(1+ )dx=ydy.

* Разделив переменные, имеем

xdx= .

Интегрируем обе части полученного уравнения :

= ; = ln(1+ )+ lnC.

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали (1/2) InС. Потенцируя последнее равенство, получим

=ln[C(1+ )].

Это и есть общее решение данного уравнения. *

Упражнения для тренировки:

1)Найдите общие решения уравнения

dx=3 dy;

dy= dx;

(1+ )dx=(x-1)dy.

2)Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

1. ydy=xdx; y=4 при x=-2

2. xdy=ydx; y=6 при x=2

1. Для того, чтобы выполнить задание №5 домашней контрольной работы необходимо изучить теоретический материал раздела «Основы теории вероятности и математической статистики», рассмотреть решенные задачи и попытаться решить упражнения для тренировки.

Основные теоретические сведения

В окружающем нас мире можно наблюдать события, которые обязательно произойдут, если будет осуществлена определённая совокупность условий. Такие события называют достоверными. Однако подобная однозначность не всегда имеет место. Часто приходится сталкиваться с событиями, которые при осуществлении определённых условий могут произойти, а могут и не произойти. Такие события называются случайными. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными.

Операции над событиями.

1. События называются равными (равносильными), если события А и В таковы, что А является следствием В, а В является следствием А. (Например. Брошена монета. Событие А - «появление герба», событие В - «не появление цифры».)

2. Суммой или объединением событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного события. (Например. Событие А - «появление одного очка при бросании игральной кости», событие В - «появление двух очков при бросании игральной кости». Суммой А+В является событие - «появление не более двух очков при бросании игральной кости».

3. Произведением или пересечением событий называется событие, состоящее в одновременном наступлении всех событий. (Например. Событие А - «студенту попался билет с чётным номером», событие В - «студенту попался билет с номером, кратным пяти». Произведением АВ является событие - «студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным 10»)

4. Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое. (Например, появление чётного числа очков при бросании игральной кости – событие, противоположное появлению нечётного числа очков.)

Элементы комбинаторики.

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями. Различают три вида соединений: размещения, перестановки, сочетания.

Размещения. Размещениями из п элементов по т в каждом называются такие соединения., которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений из п элементов по т в каждом вычисляется по формуле:

Пример 1. В группе из 30 учащихся нужно выбрать старосту, профорга и физорга. Сколькими способами можно сделать выбор?

Искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов по 3 элемента в каждом. Значит п = 30, т = 3. Получаем: .

Перестановки. Перестановками из п элементов называются такие соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов. Число перестановок из п элементов вычисляется по формуле:

Пример 2. Сколькими способами можно расставить на одной полке шесть различных книг?

Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов. То есть Р₆ = 6! = 720.

13

Сочетания. Сочетаниями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний находится по формуле:

Пример 3. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырёх для работы на определённом участке. Сколькими способами можно это сделать?

Так как порядок выбранных четырёх человек не имеет значения, то это можно сделать способами. По формуле находим:

Классическое определение вероятности.

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа т элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу п равновозможных элементарных событий.

Пример 4. В урне 3 белых и 9 чёрных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется чёрным (событие А)?

Имеем п = 12, т = 9, поэтому Р(А) = ¾.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т. е. Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Теорема 2. Если события А и В совместны, то вероятность их суммы выражается формулой: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Пусть события А и В таковы, что вероятность события В не изменится в зависимости от наступления (или ненаступления) события А. В таких случаях говорят, что события А и В независимы.

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)  Р(В).

Пример 5. В ящике 40 деталей: 20 – первого сорта, 15 – второго сора, 5 – третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад извлечённая деталь окажется не третьего сорта (событие А).

Событие А наступит, если извлечённая наугад деталь окажется либо первого сорта (событие В), либо второго сорта (событие С). Событие А есть сумма двух несовместных событий В и С. Поэтому, применяя теорему 1, получим:

Р(А) = Р(В+С) = Р(В) + Р(С) = .

Пример 6. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадает 6 очков.

Обозначим событие А – «выпадение шести очков при бросании первой игральной кости»; В – «выпадение шести очков при бросании второй игральной кости». Так как события А и В совместны, то

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Р(А) = 1/6, Р(В) = 1/6 и Р(АВ) = 1/36, поэтому

Р(А+В) = .

Упражнения для тренировки

1. Найти среди событий достоверные и невозможные:
   - появление 10 очков при бросании игральной кости;
   - появление 10 очков при бросании трёх игральных костей;
   - появление 20 очков при бросании трёх игральных костей;
   - наугад выбранное двузначное число не больше 100;
   - появление двух гербов при бросании двух монет.

2. Являются ли несовместными события А и В:
   - испытание –бросание монеты; событие А: появление герба, событие В: появление цифры;
   - испытание –бросание игральной кости; А: появление трёх очков, В: появление нечётного числа очков;
   - испытание – два выстрела по мишени; А: промах при первом выстреле, В: промах при втором выстреле.

3. Найти сумму событий:
   - испытание – два выстрела по мишени; А: попадание с первого выстрела, В: попадание со второго выстрела;
   - испытание – бросание игральной кости; А: появление одного очка, В: появление двух очков, С: появление трёх очков;
   - испытание – приобретение лотерейных билетов; А: выигрыш 10 рублей, В: выигрыш 20 рублей, С: выигрыш 25 рублей.

4. Найти произведение событий:
   - испытание – два выстрела по мишени; А: попадание с первого выстрела, В: попадание со второго выстрела;
   - испытание – бросание игральной кости; А: непоявление трёх очков, В: непоявление трёх очков, С: непоявление нечётного числа очков.

5. В урне 100 шаров, помеченных номерами. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара 5?

6. Из урны, в которой находятся 7 красных, 8 жёлтых и 5 зелёных шаров, наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным, б) жёлтым, в) чёрным, г) зелёным.

7. Среди 50 деталей 5 нестандартных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется: 1) стандартной, 2) нестандартной.

8. Брошена игральная кость. Найти вероятность следующих событий: 1) выпало три очка, 2) выпало нечётное число очков.

9. Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадает герб?

10. Вычислить:
    
    

1)
2)
3)

4) Р₆ ( Р₇ – Р₃ )

5)
6)

1. Найти п, если:
   
   

1. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?

2. Группа учащихся изучает 8 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть три различных урока?

3. Сколькими способами восемь различных книг можно расставить на одной полке так, чтобы: 1) две определённые книги оказались рядом; 2) две определённые книги не оказались рядом.

4. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, не повторяя цифр в числе?

5. В урне 10 белых и 5 чёрных шаров. Сколькими способами из урны можно вынимать наугад 3 шара, чтобы:
   1) все три шара оказались белыми; 15
   2) все три шара оказались чёрными;
   3) два шара оказались белыми, а один чёрным;
   4) один шар оказался белым, а два чёрными?

6. В розыгрыше личного первенства техникума по шахматам было сыграно 120 игр. Сколько было участников, если каждые два участника встречались между собой один раз?

7. В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно избрать трёх юношей и двух девушек для участия в слёте студентов?

8. В урне 9 белых и 6 чёрных шаров. Из урны вынимаю два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

9. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно три стандартных.

10. Восемь различных книг расставляют наугад на одной полке. Найти вероятность того, что две определённые книги окажутся поставленными рядом.

11. В книжном магазине на полке 10 различных книг, причём 5 книг стоят по 40 рублей каждая, 3 книги – по 10 рублей и 2 книги – по 30 рублей. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 50 рублей.

12. В урне 8 белых и 6 чёрных шаров. Из урны вынимаю два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся чёрными?

13. В урне 8 белых и 6 чёрных шаров. Из урны вынимаю два шара. Какова вероятность того, что они разного цвета?

14. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках. Пять карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово « конец ».

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 1.

1. Найти производные функций

А)

Б)

1. Составить уравнения касательной к кривой

в точке с абсциссой x=-1

Выполнить чертеж.

1. А) Найти следующий интеграл

Б) Вычислить определённый интеграл

1. Найти общие решения уравнения

1. А) Вычислить:

Б) Группа учащихся изучает 8 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть три различных урока?

Вариант 2.

1. Найти производные функций

А)

Б)

1. Найти дифференциал следующей функции

1. А) Найти следующий интеграл

Б) Вычислить определённый интеграл

1. Найти общие решения уравнения

1. А) Вычислить:

Б) Сколькими способами восемь различных книг можно расставить на одной полке так чтобы две определённые книги оказались рядом.

Вариант 3.

1. Найти производные функций

А)

Б)

1. Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость тела в моменты t₁=0, t₂=2.

2. А) Найти следующий интеграл

Б) Вычислить определённый интеграл

1. Найти общие решения уравнения

1. А) Вычислить:

Б) Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, не повторяя цифр в числе?

Вариант 4.

1. Найти производные функций

А)

Б) Найти значение производной функции

при х=0.

1. Найти скорость движения тела в момент времени t=2, если закон движения задан формулой .

2. А) Найти следующий интеграл

Б) Вычислить определённый интеграл

1. Найти общие решения уравнения

1. А) Вычислить:

Б) В урне 10 белых и 5 чёрных шаров. Сколькими способами из урны можно вынимать наугад 3 шара, чтобы:

1) все три шара оказались белыми;

2) два шара оказались белыми, а один чёрным ?

Вариант 5.

1. Найти производные функций

А)

Б)

1. Найти

2. А) Найти следующий интеграл

Б) Вычислить определённый интеграл

1. Найти общие решения уравнения

1. А) Вычислить:

Б)В розыгрыше личного первенства техникума по шахматам было сыграно 120 игр. Сколько было участников, если каждые два участника встречались между собой один раз?

Вариант 6.

1. Найти производные функций

А)

Б)

1. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию:

1. А) Найти следующий интеграл

Б) Вычислить определённый интеграл

1. Найти частные решения уравнения

1. А) Найти n, если:

Б) В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно избрать трёх юношей и двух девушек для участия в слёте студентов?

Вариант 7.

1. Найти производные функций

А)

Б)

1. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию:

1. А) Найти следующий интеграл

Б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

у=9-х² и у=0.

Выполнить чертеж.

1. Найти частные решения уравнения

1. А) Найти n, если:

Б) В урне 9 белых и 6 чёрных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Вариант 8.

1. Найти производные функций

А)

Б)

1. Найти наименьшее и наибольшее значения следующей функции:

1. А) Найти следующий интеграл

Б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

у=0,25х² и у= -0,5х²+3х

Выполнить чертеж.

1. Найти частные решения уравнения

1. А) Найти n, если:

Б) В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно три стандартных.

Вариант 9.

1. Найти производные функций

А)

Б)

1. Найти наименьшее и наибольшее значения следующей функции:

1. А) Найти следующий интеграл

Б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

у= -х²+6 и у=2х+3

Выполнить чертеж.

1. Найти частные решения уравнения

1. А) Найти n, если:

Б) Восемь различных книг расставляют наугад на одной полке. Найти вероятность того, что две определённые книги окажутся поставленными рядом.

Вариант 10.

1.Найти производные функций

А)

Б)

2.Составить уравнения касательной к кривой

в точке с абсциссой x=1

Выполнить чертеж.

3.А)Найти следующий интеграл

Б) Вычислить определённый интеграл

4.Найти общие решения уравнения

5.А) Вычислить:

Б) Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?

СОДЕРЖАНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ

ДЕМО - вариант дифференцированного зачета

1.Найти производные функций

А) х³+sin2х

2.Найти общие решения уравнения

3.Пять различных книг расставляют наугад на одной полке. Найти вероятность того, что две определённые книги окажутся поставленными рядом.

Вопросы для подготовки к дифференцированному зачету

1. Функции одной независимой переменной. Способы задания функции. Пределы.

2. Непрерывность функций. Асимптоты кривой.

3. Определение производной.

4. Таблица основных формул дифференцирования. Правила дифференцирования. Практические задания.

5. Механический смысл производной. Практические задания.

6. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Практические задания.

7. Монотонность функции. Признаки возрастания и убывания функции. Практические задания.

8. Экстремумы функции. Достаточные условия существования экстремума. Практические задания.

9. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

10. Общая схема исследования функций. Практические задания.

11. Дифференциал функции. Практические задания.

12. Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов. Свойства

13. неопределенного интеграла. Практические задания.

14. Методы интегрирования.

15. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона- Лейбница. Свойства определенного интеграла. Практические задания.

16. Применение определенного интеграла. Практические задания.

17. Дифференциальные уравнения 1 порядка. Практические задания.

18. Дифференциальные уравнения 2 порядка. Практические задания.

19. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Практические задания.

20. Знакопеременные ряды.

21. Степенные ряды.

22. Множество и его элементы. Пустое множество, подмножество.

23. Операции над множествами. Числовые множества. Практические задания.

24. Определение графа, виды графов. Элементы графа.

25. Связанные графы. Ориентированный граф.

26. Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события.

27. Элементы комбинаторики. Размещения. Практические задания.

28. .Сочетания. Практические задания.

29. Перестановки. Практические задания.

30. Классическое определение вероятности. Практические задания.

31. Теоремы сложения и умножения вероятности. Практические задания.

32. Случайная величина, ее характеристики.

33. Понятие о численном дифференцировании.

34. Понятие о численном интегрировании.

Тематика практических заданий

1. Таблица основных формул дифференцирования. Правила дифференцирования. Практические задания.

2. Механический смысл производной. Практические задания.

3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Практические задания.

4. Монотонность функции. Признаки возрастания и убывания функции. Практические задания.

5. Экстремумы функции. Достаточные условия существования экстремума. Практические задания.

6. Общая схема исследования функций. Практические задания.

7. Дифференциал функции. Практические задания.

8. Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов. Свойства

9. неопределенного интеграла. Практические задания.

10. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона- Лейбница. Свойства определенного интеграла. Практические задания.

11. Применение определенного интеграла. Практические задания.

12. Дифференциальные уравнения 1 порядка. Практические задания.

13. Элементы комбинаторики. Размещения. Практические задания.

14. .Сочетания. Практические задания.

15. Перестановки. Практические задания.

16. Классическое определение вероятности. Практические задания.

17. Теоремы сложения и умножения вероятности. Практические задания

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего профессионального образования по специальности 23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте (по видам транспорта)» (базовая подготовка).

2. Рабочая программа по учебной дисциплине ЕН.01 Математика, автор Лилеева Т.А. преподаватель Ярославского филиала МИИТ.

3. Рабочая инструкция Ярославского филиала МИИТ по разработке методических указаний и контрольных заданий для студентов заочной формы обучения.