Метод рационализации при решении логарифмических и показательных неравенств.

Решение неравенств методом интервалов достаточно часто приводит к затруднению при вычислении значения функции в промежуточных точках. Чтобы расширить возможности применения метода интервалов, рассмотрим метод рационализации.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на более простое выражение , при которой неравенство равносильно неравенству в области определения выражения.

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где - выражения от переменной х , а – фиксированное число .

Рассмотрим примеры сведения логарифмических и показательных неравенств, у которых основание, выражение под знаком логарифма, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства эффективно сводятся к дробно-рациональным или рациональным, причём, полученные решения будут более компактными по сравнению с традиционными.

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

, (1)

где - некоторые функции (об их природе будем говорить ниже).

Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства:

1. если , то ; 2. если , то .

Рассмотрев два случая, необходимо объединить ответы. Правда, при рассмотрении второго случая возникает определенный дискомфорт – приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь рационализировать объединить?

Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Логарифмическое неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(2)

Доказательство. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Воспользуемся теоремой 1. Получим следующую систему неравенств:

Решая первые четыре неравенства, находим ОДЗ исходного неравенства:

Откуда: .

Решим теперь пятое неравенство системы:.

.

.

С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: .

Рассмотрим показательное неравенство вида

(3)

где - некоторые функции.

Традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям:

1. если , то ; 2.если , то .

Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 2. Показательное неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(4)

Нетрудно заметить, что система (4) аналогична системе (2) из теоремы 1 (правда, в ней нет требования положительности степеней).

Пример 2. Решить неравенство

.

Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:

Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:

Откуда ОДЗ: .

Далее рассмотрим основное неравенство , которое приводится к виду: .

Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее: . Корни второго множителя равны: , , .

Так как , то . Применив метод интервалов, получим следующее решение основного неравенства: .

Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ:

.

Пимер 3. Решить систему неравенств

Решение: Рассмотрим решение каждого неравенства отдельно:

(2): введем замену

- система несовместна, т.к. по первому неравенству

Выберем решение системы , т.к. .

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Используемая литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразовательных учреждений /[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин ] – 5-ое изд. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники»,2006.

2. А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.

3. Колесникова, С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. Айриспресс 2014г.