Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Математика уступает  свои крепости лишь сильным и смелым.       

А.П. Конфорович

Результат учения равен

произведению способности

на старательность.

Если старательность равна нулю,

То и все произведение равно нулю.

А способности есть у каждого !  

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ - 6;3]. График её производной изображен на рисунке. Определите промежутки возрастания и убывания функции f(x) .

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ -5 ; 4 ]. График её производной изображен на рисунке. Определите точки максимума и минимума функции f(x) .

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ - 5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите сколько существует точек на графике функции f( х ) , касательные в которых параллельны прямой y = 5 – 2x .

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ - 7;6]. Её график изображен на рисунке. Найдите точки минимума функции. Определите точки в которых её производная равна 0.

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ - 7;6]. Её график изображен на рисунке. Найдите точки максимума функции. Определите точки в которых производная этой функции не существует.

На каком рисунке изображен график функции

1

3

2

4

Тест: Исследование функции по графику.

• Тест состоит из 5 вопросов.
• К каждому вопросу предложено 4 ответа, один из них верный.

• Желаю удачи!

• Для какой функции на интервале 1 вар.: [ 1; 2 ] производная отрицательна? 2 вар.: [ -1; 0 ] производная отрицательна?

1

3

2

4

На каком рисунке график функции имеет точку

1 вар.: максимума при х=-1?

2 вар .: минимума при х = 0?

1

3

2

4

На каком рисунке график функции имеет ровно две критические точки на интервале

1 вар.: [- 2 ; 2 ] ?

2 вар.: [- 2 ; 0 ] ?

Какая функция определена, а её производная нет при:

1 вар.: х = 0;

2 вар.: х = 1.

На каком рисунке производная функции равна нулю в точке:

1 вар.: х = 0?

2 вар.: х = 1?

Чебышев Пафнутий Львович (1821-1894), знаменитый русский математик, основатель Петербуржской математической школы

“… Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”.

Теорема Вейерштрасса

Непрерывная на отрезке [ a;b ] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897 гг.) - немецкий математик

Если функция f(x) возрастает (убывает) на [a;b] , то наибольшего или наименьшего значения она достигает на концах этого отрезка .

Если функция у = f(х) на отрезке [ а ; b ] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение

fmax = f наиб. fmin = f наим.

Наибольшего (наименьшего) значения непрерывная на [ а ; b ] функция достигает либо на концах отрезка , либо в критических точках , лежащих на этом отрезке.

Проанализируйте все рассмотренные случаи. В каких точках функция достигает наибольшего (наименьшего) значений?

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на [a ; b]

• Найти критические точки функции на интервале ( а ; b );
• Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b ,
• Среди всех вычисленных значениях функции выбрать наибольшее и наименьшее

Наибольшее значение

Наименьшее значение

Задача:

На рисунке изображен график производной функции. Можно ли по этому графику найти в какой точке функция достигает наибольшего (наименьшего) значений? Ответ обоснуйте.

ЕГЭ 2008г, С1

Самостоятельная работа