Наименьшее общее кратное

Тема урока :

Наименьшее общее кратное чисел

В каждой паре из общих делителей выделите наибольшее число:

Подчеркнем общие делители пар чисел:

9:

1, 3, 9

1, 2, 3, 6, 9, 18

18:

1, 3, 5, 15

15:

1, 2, 4, 5, 10, 20

20:

36:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

48:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 42, 48

Наибольший

Общий

Делитель

НОД

Наибольший общий делитель чисел а и b или

НОД(а,b) –это наибольшее число, на которое делятся а , и b .

Из общих кратных выделим наименьшее число:

Подчеркнем общие кратные чисел:

: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18…

- кратные 2

- кратные 3

: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…

Наименьшее общее кратное:

6

Наименьшее

Общее

Кратное

НОК

Наименьшее общее кратное чисел а и b или

НОК(а,b) –это наименьшее число, которое делится и на а , и на b .

Урок 16 по В.В.Выговской Цели урока: ввести понятие наименьшего общего кратного; формировать навык нахождения наименьшнго общего кратного; отрабатывать навык решения задач алгебраическим способом; повторить среднее арифметическое.

Определение.

Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел, называется наименьшим общим кратным.

Обозначение: НОК (2; 3) = 6.

Алгоритм нахождения НОК:

1. Разложить все числа на простые множители.

2. Написать разложение одного из чисел (лучше наибольшего).

3. Дополнить данное разложение теми множителями из разложения других чисел, которые не вошли в написанное разложение.

Пример:

Найдите наименьшее общее кратное чисел: 75 и 60.

60

75

15

30

5

2

3

15

5

2

3

3

1

3

1

3

60 = 2∙ 2∙ 3 ∙ 5

75 = 3 ∙ 5∙ 5

НОК (75; 60) = 3 ∙ 5 ∙ 5∙ 2∙ 2 = 75∙ 2 ∙ 2 = 300.

«Нахождение НОК и НОД натуральных чисел»

Разложить числа на простые множители

Если

НОК (а;b)

НОД (a;b)

Найти и вычеркнуть одинаковые множители в одном из чисел (например b ).

Из всех разложений выбрать

общие множители

(У одного из чисел взять их в кружок)

Выписать все множители числа a Дописать множители числа b , которые не вошли в состав разложения числа а

Выписать те числа, которые взяли в кружок

Найти произведение

полученных множителей

Историческая минутка.

Слово «крат» - старинное русское слово (XI век), означающее «раз». Слова «многократно» означает «много раз».

Понятием кратного пользуются в жизненной практике при установлении вида года. Через каждые три обыкновенных года, в каждом из которых по 365 дней (в феврале 28 дней), бывает четвертый год, так называемый високосный, в котором 366 дней (в феврале 29 дней).

Если число, которым выражается указанный год, есть число, кратное 4, то указанный год високосный, а если не кратно 4, то год обыкновенный. Так, 2008 год - високосный, так как 2008 кратно 4, 2007 - не високосный, так как 2007 не кратно 4.

?

НОД (60,75) =

2

3

2

5

3

5

5

75

60

25

30

5

15

1

5

1

= 15

3 · 5

НОД (60,75) =

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

I

б)12 и 16;

12

2

6

2

3

3

1

16

2

8

2

4

2

2

2

1

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3; 16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

№ 181 б

б) НОК (12; 16) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 48;

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

г) 396 и 180;

II

180

396

2

90

2

198

2

99

45

2

15

3

3

33

5

11

3

3

1

1

5

11

№ 181 г

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 · 11; 180 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 · 5

г) НОК (396; 180) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 5 = 1980;

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

III

е) 168, 231 и 60.

60

2

30

2

15

3

5

1

5

168

2

84

42

2

21

2

7

3

1

7

231

231

1

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 · 7; 231 = 1 · 231; 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

е) НОК (168; 231; 60) = 231 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 · 7 · 5 = 194 040

Являются ли числа 54 и 65 взаимно простыми? Найдите наименьшее общее кратное чисел 54 и 65. Равно ли оно произведению 54 и 65? Запишите какие-нибудь два взаимно простых числа. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Сделайте вывод.

Найдем наименьшее общее кратное любых двух взаимно простых чисел

65

54

13

5

27

2

13

3

1

9

3

3

3

1

35

24

7

5

2

12

7

2

6

1

3

2

3

1

54 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

65 = 5 ∙ 13

24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3

35 = 5 · 7

№ 182

НОК (54; 65) = 54 · 65 = 3510;

НОК (24; 35) = 24 · 35 = 840;

Вывод:

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых

чисел равно их произведению.

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 45 и 135; б) 34 и 170.

Равно ли оно одному из данных чисел?

135

170

34

45

17

3

2

2

85

1

17

5

3

15

17

17

3

5

1

5

1

45

15

3

5

3

5

1

Так как большее число делится на меньшее, то наименьшим

общим кратным этих чисел будет являться большее число.

НОК (45; 135) = 135; НОК (34; 170) = 170.

Наибольший общий делитель этих чисел:

НОД (45; 135) = 45; НОД (34; 170) = 34.

№ 183.

Найдите наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел 22 и 66:

I

в) НОК (22; 66) = ? НОД (22; 66) = ?

66

22

33

2

11

2

11

3

1

11

11

1

НОК (22; 66) = 2 · 3 · 11 = 66

№ 188 в.

НОД (22; 66) = 2 · 11 = 22

Найдите наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел 39 и 65:

II

г) НОК (39; 65) = ? НОД (39; 65) = ?

39

3

13

13

1

65

5

13

13

1

№ 188 г.

НОК (39; 65) = 5 · 13 · 3 = 195;

НОД (39; 65) = 13.

Ответить на вопросы:

• Какое число называют наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b?
• Какое число называют наибольшим общим делителем натуральных чисел а и b?
• Какое число является наименьшим общим кратным чисел т и п, если число т кратно числу n?
• Какие натуральные числа называют простыми?
• Какие натуральные числа называют взаимно простыми?

10.05.2012

www.konspekturoka.ru

?

НОК (60,75) =

75

60

25

30

5

15

1

5

1

2

3

2

5

5

3

5

2 ·2 ·3 ·5

· 5

= 300

НОК (60,75) =

60

· 5

= 300

НОК (60,75) =

2

42

3

21

7

7

1

2

2

3

5

60

30

15

5

1

?

· 3

= 6

2

НОД (60,42) =

60

· 7

= 420

НОК (60,42) =

130

10

2

1

13

5

250

5

5

50

5

2

10

2

2

1

?

10

5 · 2 =

НОД (250;130)=

250 · 13 =

3250

НОК (250; 130)=

?

НОД (36,48)=

2

2

2

2

2

3

3

2

3

48

36

18

24

12

9

6

3

3

1

1

2 · 2 · 3 =

12

НОД (36,48)=

?

НОК (36, 48) =

2

48

24

2

12

2

2

6

3

3

1

2

2

3

3

36

18

9

3

1

=144

36 ·

2

· 2

НОК (36, 48) =

3

3

5

2

2

2

432

360

3

144

120

3

48

40

2

2

24

8

2

4

12

2

2

6

3

1

3

1

?

72

3 · 3 · 2 · 2 · 2 =

НОД (360;432)=

· 2· 3 =

2160

360

НОК (360;432)=

ЗАДАНИЕ НА ДОМ:

№ 664

СПАСИБО ЗА

УРОК!