Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

15

Тема урока. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.

Цели: создание условий для получения алгоритма и использования его для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций на промежутке.

Задачи:

Предметные:

Повторить основные понятия по теме «Применение производной для исследования функций»: определение стационарных и критических точек, нахождение монотонности и точек экстремума функции по графику и с помощью производной.

Сформулировать основные теоретические положения, рассмотреть алгоритм решения задач, отработать шаги алгоритма, рассмотреть частные случаи научить находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на промежутке;

Метапредметные:

Развивать речь, внимание.

Развивать умение работать в паре, умение читать график функции, анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы, развивать исследовательские умения.

Развивать умение выделять главное при работе с текстом учебника.

Развивать умение ставить новые задачи в учебной и познавательной деятельности

Личностные:

Воспитывать умение самостоятельно работать, умение общаться.

Воспитывать навыки взаимоконтроля и самоконтроля.

Воспитывать интерес к истории математики как науки.

Ход урока

1.Оргмомент

1 слайд Здравствуйте ребята. Садитесь. Начнем наш урок. Сегодня у нас урок необычный. Почему? Как вы думаете?

2 слайд Сегодня 60 лет первому полету в космос. Россия-СССР стали первой космической державой! А Юрий Алексеевич Гагарин — лётчик-космонавт СССР, первым из землян побывавший в космосе.

Эпиграфом для у рока я взяла высказывание Ю. А. Гагарина. Чтобы стать крылатым, нужно стремление к полёту. А чтобы стать успешным в учебе, нужно стремиться узнавать новое на каждом уроке. Сегодня на уроке будем проверять, есть ли у вас стремление к полету, стремление стать успешным человеком.

Итак, изучением какой темы мы занимаемся вот уже несколько уроков? (Производная функции).

Чему вы научились, изучая данный материал? (находить производные функций, исследовать их на монотонность и экстремумы, строить график)

Какую не менее важную характеристику функции мы ещё не находили? (наим. и наиб. значения функции).

Скажите, пожалуйста, с помощью чего мы можем найти наибольшее и наименьшее значения функции? (с помощью графика функции).

А всегда ли это можно находить с помощью графика?.. (нет).

Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке?

Сегодня мы вместе с вами научимся с помощью производной находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке.

И будем искать более простые пути решения данной задачи.

Какова тема урока?

3 слайд Открывайте тетради, напишите число и тему нашего урока “Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.

2. Актуализация знаний и умений.

Начинаем проверки теоретической знаний.

1) Вы уже накопили некоторый опыт нахождения производной и исследования функции.

Ответьте на вопросы:

1. Что значит исследовать функцию на монотонность?

2. Какие точки называют точками экстремума?

3. Каков алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.

4. Каков алгоритм построения графика функции.

2) Устная работа.

1. 4 слайд Найти производные функции и с помощью стрелки покажите значение производной.

1. 5 слайд Найдите по данным таблицы промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и точки минимума по таблице.

2. 6-9 слайд -работа с графиком, решение заданий ЕГЭ

3. 10 слайд Найдите min и max функции

 1

 

3.Мотив изучения новой темы.

Среди множество математических задач есть задачи, которые решаются с помощью методов математического анализа, с помощью исследований. Эти задачи оптимизации.

11-12 слайд Вот примеры этих задач.

Эти задачи, легко решаются если их свести к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции. И исходя из большой практической значимости, задание на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке включены в ЕГЭ по математике.

Наиболее важной ситуацией является следующая: функция y=f(x) задана на [a;b] и имеет производную во всех точках этого отрезка. Необходимо найти её наибольшее и наименьшее значение на [a;b].

Тема сегодняшнего урока поможет нам научится решать такие задачи.

Физкультминутка упражнение для глаз: посмотрите вдаль, задержите взгляд на далеком предмете; поморгайте; посидите немного с закрытыми глазами.

13 -14 слайд Найти наибольшее и наименьшее значение функции по её графику.

4.Организация (исследовательской) работы в парах

Сегодня я предлагаю вам выступить в роли исследователей. Работая в парах, получаете задание, выполнение которого должно привести вас к важным теоретическим выводам и алгоритму решения таких задач – задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. На это вам дается 5 мин.

Задание группам

1. Рассмотрите рисунки и ответьте на вопросы

1. Непрерывна ли функция на отрезке [a; b]?

2. Найдите стационарные и критические точки.

3. В какой точке достигается у_наиб?

4. В какой точке достигается у_наим?

1)	1) 2) 3) унаиб = f( ) 4) унаим= f( )	2)	1) 2) 3) унаиб = ( ) 4) унаим= ( )
3)	1) 2) 3) унаиб = f( ) 4) унаим= f( )	4)	1) 2) 3) унаиб = f( ) 4) унаим= f( )
5)	1) 2) 3) унаиб = h( ) 4) унаим= h( )	6)	1) 2) 3) унаиб = g( ) 4) унаим= g( )

2. Сделайте выводы:

1) Когда функция может принимать свое наибольшее и наименьшее значения на отрезке? __________________

2) Где непрерывная функция на отрезке может принимать наибольшее (наименьшее) значения? ________________________________________

3) Если наибольшее (наименьшее) значения функции достигаются во внутренних точках отрезка [a;b], то какие это могут быть точки?

__________________________________________

В) Всегда ли непрерывная на отрезке [a;b] функция имеет и наименьшее и наибольшее значение?__________________________________________

1.Анализ результатов работы групп.

Подведём итоги. Каковы результаты работы?

Выводы обсуждают с помощью мозгового штурма. Обобщают, уточняют и озвучивают.

Итак, в ходе работы вы получили несколько важных выводов. Послушаем их.

15 -16 слайд Должны быть сделаны следующие выводы: (Слайд 5)

1) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего и своего наименьшего значения.

2) Наименьшего и наибольшего значений непрерывная функция может достигать, как на концах отрезка , так и внутри него.

3) Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

4) Если функция y=f(x) не имеет на отрезке[a;b] критических и стационарных точек, тогда

а) если f´(x)0 на (а; b) f(x) – возрастает на [a;b], поэтому наибольшее значение на отрезке функция принимает в правом конце промежутка, а наименьшее в левом конце промежутка.

б) если f´(x) b) f(x) – убывает на [a;b], поэтому наибольшее значение на отрезке функция принимает в левом конце промежутка, а наименьшее в правом конце промежутка.

17-18 слайд Практическая работа с графиком.

19 слайд примеры из учебника (показывает учитель)

46.1 (б)

46.9 (б,в),

46.10 мы не сможем решить таким способом (неравенством и построением), будем учиться составлять алгоритм

46.10 пример на отрезке нет критических и стационарных точек. Значит функция монотонна.

46.11.(в)

46.11 пример одна точка принадлежит интервалу.

46.12 пример одна точка принадлежит интервалу.

2.Составить алгоритм

Для чего нам в математике нужны алгоритмы? (Чтобы научиться решать задачи.)

19 слайд Известный венгерский, швейцарский и американский  математик Дьёрдь По́йа говорил:

Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь…

Поэтому, я предлагаю вам рассмотреть образец решения задачи (на листочке)

Выделите шаги алгоритма в её решении.

Какие шаги алгоритма мы умеем выполнять?

Какие шаги новые для нас?

Алгоритм

1. Найти производную f´(x)

2. Найти стационарные и критические точки функции.

3. Выбрать те, которые лежат внутри отрезка [a;b]

4. Поострить таблицу, найти min и max

5. Вычислить значения функции y=f(x), в отобранных на третьем шаге и на концах отрезка

6. Выбрать среди этих значений наименьшее (это будет у_наим) и наибольшее (это у_наиб)

Теорема

А) если х=х₀ – точка максимума, то у_наиб= f(x₀), (рис 240)

Б) если х=х₀ – точка минимума, то у_наим= f(x₀), (рис 241 )

5.Итоги урока

Чем занимались на уроке?(Познакомились с новым видом задач на наибольшее и наименьшее значения функции)

Каков алгоритм решения этих задач? Какие частные случаи могут возникнуть?

1. Домашнее задание

П.46 стр. 369-374 читать), 46.13, 46,14

Мы с вами сегодня научились находить наибольшее и наименьшее значения функции несколькими способами. Такие задания у нас будут на ЕГЭ. И вы по заданию должны выбрать те способы, которые помогут сэкономить вам время. На этом изучение задач, решаемые с помощью производной не заканчиваются, мы будем продолжать решать такие задачи. Поставьте на листочках себе оценку, кто на какую оценку работал. Моя оценка: все испытании прошли отлично, у всех есть стремление к полету, значит все будете успешными.

15