Россия, с.Каскара
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 22.05.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 19.05.2025 09:28
Крымова Татьяна Анатольевна
учитель математики и информатики
39 лет
10 888
3 686 
Местоположение
Специализация
Некоторые свойства окружности
Категория:
Геометрия
17.03.2023 10:38
Просмотр содержимого документа
«Некоторые свойства окружности»
Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности
Повторение
C
Окружность (O;R)
AB – диаметр
ОС = ОА = ОВ – радиусы
АС - хорда
А
B
O
Теорема 20.1 Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
C
Дано: Окр.(O; R)
АВ – хорда
CD – диаметр
CD АВ
Доказать: CD делит АВ пополам.
Доказательство:
1 случай
Если хорда АВ – диаметр, то CD пересекает АВ в точке О, значит, АО = ВО.
А
В
O
D
Теорема 20.1 Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Дано: Окр.(O; R)
АВ – хорда
CD – диаметр
CD АВ
Доказать: CD делит АВ пополам.
Доказательство:
2 случай
Если хорда АВ – не диаметр, то CD пересекает АВ в точке М.
Докажем, что АМ = МВ.
Д. п. Проведем радиусы ОА и ОВ.
Рассмотрим треугольник АОВ – равнобедренный (ОА = ОВ).
ОМ – высота и медиана (по свойству р/б треугольника), значит, АМ = МВ.
C
O
А
В
М
D
Теорема 20.2 Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.
C
O
А
В
М
D
Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности.
Вспомним , что называется расстоянием от точки до прямой?
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки к этой прямой.
СН а
C
а
H
r, то прямая а и окружность не имеют общих точек. Если ОН = r, то прямая а и окружность имеют одну общую точку и прямая называется касательной к окружности. Если ОН а и окружность имеют две общих точки и прямая называется секущей. " width="640"
Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности.
Обозначим ОН – расстояние от центра окружности О до некоторой прямой а .
Н
а
Н
Н
а
а
r
r
r
O
O
O
Если ОН r, то прямая а и окружность не имеют общих точек.
Если ОН = r, то прямая а и окружность имеют одну общую точку и прямая называется касательной к окружности.
Если ОН а и окружность имеют две общих точки и прямая называется секущей.
Теорема 20.3 (свойство касательной) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
а
А
Окр. (О; R)
а – касательная к окружности
точка А – точка касания
ОА – радиус, проведенный в точку касания
а ОА
O
Теорема 20.4 (признак касательной к окружности) Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
Следствие Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.
Задача. Докажите, что если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.
Дано: Окр.(O; R)
АВ, АС – касательные
Доказать: АВ = АС.
Доказательство:
Д.п . Радиусы ОВ и ОС.
По свойству касательной ОВ АВ, ОС АС.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АОВ и АОС:
ОВ = ОС (как радиусы одной окружности)
АО – общая
Следовательно, Δ АОВ = Δ АОС (по катету и гипотенузе).
Значит, АВ = АС.
О
В
С
А
№ 511.
Дано: Окр.(O; R)
АВ – хорда
CD – диаметр
CD АВ
Доказать: ∠AOD = ∠BOD
Доказательство:
Рассмотрим треугольник АОВ – равнобедренный (АО = ОВ).
ОМ – высота и биссектриса (по свойству р/б треугольника), значит, ∠AOD = ∠BOD .
C
O
А
В
М
D
Дано: Окр.(O; R)
АВ = CD – хорды
OP и OM – расстояния от центра окружности до хорд
Доказать: OP = OM.
Доказательство:
1) Рассмотрим Δ АОВ – р/б (ОА = ОВ).
ОМ – высота и медиана (по свойству р/б треугольника),
значит, АМ = МВ = АВ.
2) Аналогично, Δ CОD – р/б (ОC = ОD) и CP = PD = CD.
3) Т.к. AB = CD, то AB = CD, значит, PD = AM.
4) Рассмотрим Δ OPD и Δ OMA - прямоугольные:
PD = AM (из доказанного), OD = OA (как радиусы), значит,
Δ OPD = Δ OMA (по катету и гипотенузе).
Отсюда, OP = OM.
№ 512.
C
Р
O
D
А
В
М
© 2023, Крымова Татьяна Анатольевна 1656 10
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
Закрыть через 4 секунд
