Россия, Ленинск-Кузнецкий
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 04.09.2025 15:17
Слотюк Мария Викторовна
Учитель математики
48 лет
16 436
2 105 
Местоположение
Специализация
Нестандартные способы решения квадратных уравнений
Категория:
Математика
28.07.2017 12:58
Просмотр содержимого документа
«Нестандартные способы решения квадратных уравнений»
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Кемеровский государственный университет»
Институт профессиональной ориентации
VI Областная научно-практическая конференция «ДИАЛОГ»
математика
НЕСТАНДАРТНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Автор: Шмидт Нелли
Анатольевна
Класс: 8
МБОУ «Гимназия №12»
Город: Ленинск-Кузнецкий
Научный руководитель:
Слотюк Мария Викторовна
учитель математики
КЕМЕРОВО 2017
Содержание:
Введение 3
Основная часть:
Глава 1. История развития квадратных уравнений 5
Глава 2. Стандартные способы решения квадратных уравнений
2.1. Решение квадратного уравнения по формулам 6
2.2. Решение уравнений с четным коэффициентом при х 7
2.3. Теорема Виета 7
Глава 3. Нестандартные способы решения квадратных уравнений
3.1. Метод выделения полного квадрата 8
3.2. Графическое решение квадратных уравнений 9
3.3. Разложение левой части уравнения на множители 10
3.4. Решение уравнений способом «переброски» 10
3.5. Решение уравнений по сумме коэффициентов 11
3.6. Квадратное уравнение с целыми коэффициентами 11
3.7. Закономерность коэффициентов 12
Заключение 14
Литература 16
Приложение 17
Введение
Математика является одним из основных и достаточно сложных предметов школы. Она помогает в изучении других дисциплин естественнонаучного цикла, таких как физика, химия, информатика и т.д. При обучении математики развивается логическое мышление, которое также способствует усвоению предметов гуманитарного цикла.
При обучении математике формируются умения и навыки умственного труда, такие как: четкое планирование своей работы, поиск рациональных путей, критическая оценка результатов. Во время обучения математике необходимо излагать свои мысли ясно, лаконично, математические записи выполнять, аккуратно и грамотно. Практические умения и навыки, приобретаемые на уроках математики, пригодятся также для трудовой и профессиональной подготовки.
Одно из важных мест в математике занимают уравнения, так как большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще всего это уравнения квадратного вида.
В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые не отражены в школьных учебниках математики. Но мы считаем, что применение разнообразных способов решения поможет сэкономить время и значительно повысить эффективность и качество решения квадратных уравнений.
В некоторых случаях уравнения можно решать устно, но для этого необходимо знать алгоритм решения квадратных уравнений, который так же может пригодиться на экзаменах ОГЭ, ЕГЭ и в различных жизненных ситуациях.
Таким образом, возникает необходимость изучения этих дополнительных и нестандартных способов решения. Все сказанное выше доказывает актуальность темы нашего исследования «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»
Цель исследования:
изучение нестандартных способов решения квадратных уравнений, не входящих в школьный курс математики.
Задачи:
Изучить историю развития квадратных уравнений.
Проанализировать учебники алгебры за 8 класс разных авторов для выявления способов решения квадратных уравнений.
Изучить нестандартные способы решения квадратных уравнений.
Выяснить способы решения квадратных уравнений, которыми владеют учащиеся Гимназии, в результате опроса.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: нестандартные способы решения квадратных уравнений.
Методы исследования:
• анализ научно – популярной литературы;
• опрос;
• статистические методы обработки данных.
Материалом для исследования послужили учебники «Алгебра 8» следующих авторов: А.Г. Мордкович, Г.В. Дорофеев, С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, Ш.А. Алимов, Н.Я. Виленкин, А.Г. Мерзляк, Г.К. Муравин; а также различные интернет-ресурсы.
Глава 1. История развития квадратных уравнений
Необходимость в решении уравнений была вызвана ещё до нашей эры потребностью решать задачи, связанные с нахождением площади земельного участка, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии, да и самой математики.
Некоторые приемы решения квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, как дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты представляют собой задачи с решениями, записанные в виде рецептов, без указаний каким образом они были найдены. [8]
Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид, живший в III веке до н. э - отвел геометрической алгебре в своем трактате «Начала» всю вторую книгу, где собрал весь необходимый материал для решения квадратных уравнений.
Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). Однако, способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах, которые, к сожалению, не сохранились.
Индийский ученый – Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое по существу совпадает с современным. [9]
Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры, в котором Хорезми насчитывает 6 видов уравнений.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Франсуа Виет, однако он признавал только положительные корни. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выделены Виетом в 1591 г. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
В настоящее время умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Так как, во-первых, умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики, а во-вторых, большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений.
Глава 2. Стандартные способы решения квадратных уравнений
2.1. Решение квадратного уравнения по формулам
Квадратным уравнением называют уравнение вида 
, где a, b, c – любые действительные числа, причем 
. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1. Также различают полные и неполные квадратные уравнения. В нашей работе мы рассматриваем способы решения только полных уравнений.
Рис. 1. Решение по формулам квадратного уравнения
Самый распространенный способ решения квадратных уравнений,
который рассматривается в каждом учебнике алгебры, это решение по формулам. На нем мы подробно останавливаться не будем.
2.2. Решение уравнений с четным коэффициентом при х
Если коэффициент b есть четное число, то формулу можно упростить, подставив 2k вместо b. Тогда корни квадратного уравнения ax2+2kx+c=0 можно вычислять по формуле: 
, которая значительно облегчает вычисления. А для приведенного квадратного уравнения эта формула выглядит еще проще: 
. [6]
Решим уравнение: х2+10х-7200=0.
Данный способ решения квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом рассматривается во всех учебниках алгебры, но только у А.Г. Мордковича и Г.В. Дорофеева выделен отдельным пунктом.
2.3. Теорема Виета
Если 
- корни уравнения х² + pх + q = 0, то справедливы формулы: 
.
То есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Решим уравнение: х² - 2х – 3 =0
Ответ: -3; 1
По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней:
а) Если сводный член q 0, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р , то оба корня отрицательны, если р , то оба корня положительны.
Например: x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 0 и p = - 3
x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 0 и p= 8 0.
б) Если свободный член q , то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p 0 .
Например: x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 и p = 4 0;
x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 и p = - 8
Решение квадратных уравнений по теореме Виета, так же как и решение по формулам, изучается во всех рассмотренных нами учебниках алгебры. Это достаточно легкий способ. Он позволяет сразу увидеть корни уравнения, но найти можно только целые корни.
Глава 3. Нестандартные способы решения квадратных уравнений
3.1. Метод выделения полного квадрата
Решим квадратное уравнение: х² - 2х – 3=0.
Преобразуем это уравнение таким образом:
х² - 2х = 3, х² - 2х +1= 3+1, (х - 1)² = 4.
Следовательно: х – 1 = 2 или х - 1 = -2, откуда х1 = 3, х2 = -1.
Решая уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное. В нашем случае уравнение имеет два корня, но если после выделения квадрата двучлена справа получится ноль, то корень будет один, а если отрицательное число окажется справа – корней нет. Данный метод позволяет за минимальное количество действий найти корни уравнения. Однако есть и определенные неудобства, нужно суметь правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата. Этот метод подробно рассматривается в учебниках алгебры Ш.А. Алимова, Г.К. Муравина и Ю.Н. Макарычева, но упражнений на его применение очень мало.
3.2. Графическое решение квадратных уравнений
Решим уравнение 
.
1 способ. Построим график функции
. Вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая х=1. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х, корни уравнения: -1 и 3. (Рис. 2)
Рис.2
2 способ. Преобразуем уравнение к виду
. Построим в одной системе координат графики функций 
. Они пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис. 3)
Рис.3
3 способ. Преобразуем уравнение к виду 
. Построим в одной системе координат графики функций 
. Они пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис. 4)
Рис.4
4 способ. Преобразуем уравнение к виду 
и далее 
=4, т.е. 
Построим в одной системе координат параболу
Они пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис.5)
Рис.5
5 способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим: 
Построим в одной системе координат гиперболу у = 
и прямую у = х – 2. Они пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис. 6) [6]
Графический способ решения квадратных уравнений очень подробно рассматривается в учебнике, автором которого является А. Г. Мордкович. Но, несмотря на обилие способов графического решения, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет. И не всегда точки пересечения имеют «хорошие» координаты.
Рис.6
3.3. Разложение левой части уравнения на множители
Решим уравнение х2 - 2х - 3 = 0. Разложим левую часть на множители: х2 - 2х - 3 = х2 +х - 3х - 3 = х(х + 1) - 3(х + 1) = (х + 1)(х - 3).
Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 1)(х - 3) = 0
Так как произведение равно нулю, значит, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = -1, а также при х = 3. Это означает, что числа -1 и 3 являются корнями уравнения х2 - 2х - 3 = 0. Данный способ не рассматривается отдельно в учебниках алгебры. Сложность его применения заключается в том, что нужно суметь правильно найти все слагаемые для группировки.
3.4. Решение уравнений способом «переброски»
Рассмотрим квадратное уравнение: ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение: а2х2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,
равносильному данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».
Решим уравнение 6х2 + 7х + 1 = 0.
«Перебросим» коэффициент 6 к свободному члену, в результате получим уравнение: у2 + 7у +6 = 0. Согласно теореме Виета: у1 = -6; у2 = -1, следовательно х1 = -6/6 = -1 и х2 = -1/6. [6]
Этот способ описывается в учебнике «Алгебра» для углубленного изучения, автор - А.Г. Мордкович. Его применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
3.5. Решение уравнений по сумме коэффициентов
Возьмем уравнение 
, где 
:
- если a + b + c = 0, то 
, а 
,
-если a – b + c = 0, то 
, а 
.
Решим уравнение: 
по сумме коэффициентов.
а + b + c = 11 – 33 + 22 = 33 – 33 = 0, следовательно , а 
.
Решим уравнение: 
по сумме коэффициентов.
а – b + c = 5 – 12 + 7 = 12 – 12 = 0, следовательно , а 
.
Этим способом очень удобно пользоваться, если a,b,c – достаточно большие целые числа. [8]
Решим уравнение: 
т.к.
Решим уравнение:
т.к.
Этот способ не рассматривается ни в одном из учебников алгебры, хотя достаточно прост и не требует больших усилий, однако не каждое квадратное уравнение можно решить этим способом.
3.6. Квадратное уравнение с целыми коэффициентами
Если квадратное уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена.
Решим уравнение: 5х2-14х-3=0. Сначала нужно выписать все делители свободного члена: 1; -1; 3 и -3. Затем подстановкой проверим, какое из этих чисел является корнем уравнения. Итак, число х1=3 – корень уравнения. А второй корень можно найти, воспользовавшись соотношением х1х2=с/а, то есть 3х2=-3/5, х2=-1/5. [4]Этим способом удобно пользоваться, если свободный член не имеет много делителей. Такой прием решения квадратных уравнений мы обнаружили в учебнике, автором которого является Г.В. Дорофеев.
3.7. Закономерность коэффициентов
1. Если в уравнении ах2+bх+с=0 коэффициент b=(а2+1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а: ах2+(а2+1)+а=0, то его корни равны: х1=-а; 
.
Пример:
2. Если в уравнении ах2-bх+с=0 коэффициент b=(а2+1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а: ах2-(а2+1)+а=0, то его корни равны: х1=а; 
.
Пример:
3. Если в уравнении ах2+bх-с=0 коэффициент b=(а2-1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а: ах2 + (а2+1) - а=0, то его корни равны: х1=-а; .
Пример:
4. Если в уравнении ах2-bх-с=0 коэффициент b=(а2-1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а: ах2-(а2-1)-а=0, то его корни равны: х1=а; .
Пример: [8]
Все эти свойства коэффициентов позволяют значительно сэкономить время при решении уравнений, но не все уравнения можно решать таким способом, ни в одном учебнике алгебры он не рассматривается.
Таким образом, проанализировав учебники алгебры за 8 класс вышеперечисленных авторов, а также воспользовавшись интернет ресурсами, было выявлено десять различных способов решения квадратных уравнений, из которых семь мы считаем нестандартными.
Мы решили провести социологический опрос среди учащихся 9 классов нашей гимназии, чтобы выяснить, умеют ли ребята решать квадратные уравнения разными способами. В опросе участвовало 53 ученика 9 «А» и 9 «Б» классов.
В качестве основных вопросов были:
Запишите формулу квадратного уравнения.
Сколько способов решения квадратных уравнений вы знаете?
Решите квадратное уравнение: х2+х-6=0.
Как вы считаете, умение решать квадратные уравнения поможет в успешной сдаче ОГЭ?
По результатам опроса были получены следующие данные: 56% учащихся верно записали формулу квадратного уравнения, 38% вместо формулы уравнения написали формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения и 6% (3 человека) не вспомнили ни одной формулы. На следующий вопрос «Сколько способов решения квадратных уравнений вы знаете?» 10% написали 3 способа, 67% вспомнили два способа (через дискриминант и по теореме Виета), 19% только один способ и 2 человека (4%) не назвали ни одного способа. Дальше ребятам было предложено решить квадратное уравнение, которое является приведенным, что позволило его решить несколькими способами. 60% учащихся верно выполнили задание, из них 10 человек решили уравнение двумя способами, 22% допустили ошибки в решении, а 18% (9 человек) не стали решать. И на последний вопрос « Как вы считаете, умение решать квадратные уравнения поможет в успешной сдаче ОГЭ?» «да» - ответили все девятиклассники. (Приложение 1)
Таким образом, можно сделать вывод, что большинство девятиклассников нашей гимназии успешно справляются с решением квадратных уравнений, но пользуются при этом в основном только одним способом, решают по формулам, так как не знакомы с другими способами, которые позволяют решать квадратные уравнения намного проще и быстрее. Это в очередной раз доказывает актуальность нашей темы.
Заключение
В ходе настоящего исследования мы проанализировали литературу, чтобы познакомиться с историей возникновения квадратных уравнений, выяснили, что некоторые приемы их решения были известны еще за 2000 лет до нашей эры. Таким образом, квадратные уравнения решались нашими далекими предками в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика, так как они применялись в строительстве, в военных делах и в бытовых ситуациях.
Проанализировав учебники алгебры за 8 класс следующих авторов: А.Г. Мордкович, Г.В. Дорофеев, С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, Ш.А. Алимов, Н.Я. Виленкин, А.Г. Мерзляк, Г.К. Муравин, мы пришли к выводу, что самыми распространенными способами решения квадратных уравнений являются способы решения по формуле, то есть через дискриминант, и по теореме Виета. Такие способы, как выделение квадрата двучлена, решение уравнений с четным коэффициентом при х; рассматриваются также в каждом учебнике алгебры. Разложение левой части уравнения на множители и графический способ решения квадратных уравнений мы встретили только в учебнике А.Г. Мордковича. Автор предлагает пять различных способов решения уравнения при помощи построения разных графиков. Также в учебнике А.Г. Мордковича, но уже для углубленного изучения, мы познакомились со способом «переброски». В учебнике, автором которого является Г.В. Дорофеев, мы познакомились с интересным способом решения уравнений с целыми коэффициентами, этот способ автор поместил в раздел «Для тех, кому интересно». Пользуясь ресурсами интернета, нами были найдены еще два нестандартных способа решения квадратных уравнений: решение уравнений по сумме коэффициентов и с использованием закономерности коэффициентов. Эти способы вызвали большой интерес, так как они позволяют достаточно легко и быстро находить корни, но достаточно сложно все эти свойства запомнить, поэтому мы решили сделать памятку и пользоваться ей по необходимости (приложение 2). Эту же памятку мы раздали девятиклассникам, среди которых проводили опрос, так как результаты показали (приложение 1), что учащиеся в основном решают квадратные уравнения по формуле дискриминанта.
Рассмотренный нами материал могут использовать учителя математики на уроках, при проведении внеурочных занятий, также при подготовке выпускников к сдаче ОГЭ и ЕГЭ.
Нам было очень интересно работать над данной темой. Мы узнали, что автор учебника, который мы изучаем на уроках алгебры, А.Г. Мордкович, учит нас решать квадратные уравнения не только традиционными способами, но и рассматривает четыре нестандартных способа, которые не встречаются больше ни в одном учебнике у других авторов. Так же мы познакомились с нестандартными способами решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально их решать. Овладение этими способами поможет сэкономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.
В дальнейшем мы планируем продолжить работу над этой темой и рассмотреть более сложные способы решения квадратных уравнений.
Список используемой литературы:
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. Организаций / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др]; под ред. Н.А. Теляковского.-М.: Просвещение.-2013.-287с.
Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [С.М.Никольский, К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин].-3-е изд.-М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2006.-287с.
Алгебра. 8 класс: учеб для общеобразоват. организаций / [Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин].- М.: Просвещение, 2013.- 336с.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение».-5-е изд.-М.: Просвещение, 2010.-288с.
Мерзляк, А.Г. Алгебра: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.- М.: Вентана-Граф, 2013.-256с.
Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2016-215с.
Муравин, Г.К. Алгебра. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина.- 15-е изд.,стереотип.-М.: Дрофа, 2013.-254с.
Определение квадратного уравнения, его виды [Электронный ресурс] / Режим доступа -https://www.kazedu.kz
История квадратных уравнений [Электронный ресурс] / Режим доступа - http://knowledge.allbest.ru/mathematics
Приложение 1
Диаграмма 1
Диаграмма 2
Диаграмма 3
Диаграмма 4
Приложение 2
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
1. Если в уравнении ах2+bх+с=0 коэффициент b=(а2+1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а: ах2+(а2+1)+а=0, то его корни равны: х1=-а; .
2. Если в уравнении ах2-bх+с=0 коэффициент b=(а2+1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а: ах2-(а2+1)+а=0, то его корни равны: х1=а; .
3. Если в уравнении ах2+bх-с=0 коэффициент b=(а2-1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а: ах2 + (а2+1) - а=0, то его корни равны: х1=-а; .
4. Если в уравнении ах2-bх-с=0 коэффициент b=(а2-1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а: ах2-(а2-1)-а=0, то его корни равны: х1=а; .
5. Если в уравнении ах2+bх+с=0 коэффициенты a + b + c = 0, то его корни равны: , а .
6. Если в уравнении ах2+bх+с=0 коэффициенты a - b + c = 0, то его корни равны: , а .
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
