Объем прямой призмы и цилиндра

Объем прямой призмы и цилиндра

Прямой призмой  называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания

  Теорема: Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту .

V = S осн Н , где

S осн — площадь основания прямой призмы,

Н — боковое ребро.

Н

S осн

Прямая треугольная призма

Прямая четырехугольная призма

ТРЕУГОЛЬНИК

ПРАВИЛЬНЫЙ

ПРОИЗВОЛЬНЫЙ

a

b

c

S = , где

p =

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ

S =



ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

ТРАПЕЦИЯ

КВАДРАТ

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

a

ПРЯМОУГОЛЬНИК

S=

РОМБ

b

d 1

d 2

Вариант 11.Задача 3.3 Через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания правильной треугольной призмы проведена

плоскость, образующая с плоскостью основания угол . Площадь

образовавшегося сечения равна . Найдите объем призмы.

АВСА 1 В 1 С 1 – правильная треугольная призма. Через сторону основания АС и вершину В 1 проведем сечение АВ 1 С, причем S АВ 1 С = .

Решение:

В 1

С 1

А 1

Проведем ВК  АС и отрезок В 1 К в плоскости сечения АВ 1 С.

По теореме о трех перпендикулярах В 1 К  АС, значит  ВКВ 1 = .

По условию призма правильная, значит  АВС – равносторонний. S АВС = .

С

В

К

А

 АВС – проекция  АВ 1 С на плоскость, тогда S  АВС = S  АВ 1 С 

S  АВС = = 4

4 = , = , = 4 см.

S  АВС = АС  КВ, тогда КВ = =

Из  КВВ 1 ( 1 = КВ  , ВВ 1 =  = 6 см.

V = S осн Н , значит V = S  АВС  ВВ 1,

V = 4  6 = 24

Ответ: 24

Теорема: Объем цилиндра равен произведению площади основания цилиндра на его высоту .

V = S осн Н , где

 

S осн — площадь основания цилиндра,

Н — высота цилиндра.

О

S осн = πR 2

Н

V = πR 2 H

R

О 1

Вариант 2 Задача.2.4 Диагональ осевого сечения прямого кругового цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 45° и равна 6√2 см. Найти объем цилиндра.

Решение:

V = πR 2 H

C

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD ( 0 ).

0 , значит

∆ ACD – равнобедренный, тогда AD = CD.

B

В ∆ ACD

 

, CD = 6  = 6 см, тогда CD=6см

D

СD – образующая цилиндра, т.е СD – высота цилиндра.

45 0

O

AD – диаметр основания цилиндра, значит радиус цилиндра равен R = 3 см.

A

Найдем объем цилиндра : V = 3 2  6  = 54  см 2

Ответ : 54  см 2

Объем ПРЯМОЙ призмы И ЦИЛИНДРА

h

h